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9.5: Área y volumen de figuras y objetos geométricos - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • conocer el significado y la notación del área
  • conocer las fórmulas de área para algunas figuras geométricas comunes
  • ser capaz de encontrar las áreas de algunas figuras geométricas comunes
  • conocer el significado y la notación del volumen
  • conocer las fórmulas de volumen para algunos objetos geométricos comunes
  • ser capaz de encontrar el volumen de algunos objetos geométricos comunes

Muy a menudo es necesario multiplicar un número nominal por otro. Para hacerlo, multiplicamos las partes del número y las partes de la unidad. Por ejemplo,

( begin {array} {rcl} { text {8 in.} cdot text {8 in.}} & = & {8 cdot 8 cdot text {in.} cdot text {in .}} {} & = & {64 text {in.} ^ 2} end {array} )

( begin {array} {rcl} { text {4 mm} cdot text {4 mm} cdot text {4 mm}} & = & {4 cdot 4 cdot 4 cdot text { mm} cdot text {mm} cdot text {mm}} {} & = & {64 text {mm} ^ 3} end {matriz} )

A veces, el producto de unidades tiene un significado físico. En esta sección, examinaremos el significado de los productos ( text {(unidad de longitud)} ^ 2 ) y ( text {(unidad de longitud)} ^ 3 )

El significado y la notación del área

El producto ( text {(unidad de longitud)} cdot text {(unidad de longitud)} = text {(unidad de longitud)} ^ 2 ), o unidad de longitud cuadrada (unidad de longitud cuadrada), se puede interpretar físicamente como el zona de una superficie.

Zona
El zona de una superficie es la cantidad de unidades de longitud cuadrada contenidas en la superficie.

Por ejemplo, 3 pulgadas cuadradas significa que 3 cuadrados, 1 pulgada de cada lado, se pueden colocar con precisión en alguna superficie. (Es posible que los cuadrados deban cortarse y reorganizarse para que coincidan con la forma de la superficie).

Examinaremos el área de las siguientes figuras geométricas.

Fórmulas de área

Podemos determinar las áreas de estas figuras geométricas usando las siguientes fórmulas.

FiguraFórmula de áreaDeclaración
Triángulo (A_T = dfrac {1} {2} cdot b cdot h )El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura.
Rectángulo (A_R = l cdot w )El área de un rectángulo es el largo por el ancho.
Paralelogramo (A_P = b cdot h )El área de un paralelogramo es la base por la altura.
Trapezoide (A_ {Trampa} = dfrac {1} {2} cdot (b_1 + b_2) cdot h )El área de un trapezoide es la mitad de la suma de las dos bases por la altura.
Circulo (A_c = pi r ^ 2 )El área de un círculo es ( pi ) multiplicado por el cuadrado del radio.

Encontrar áreas de algunas figuras geométricas comunes

Conjunto de muestra A

Encuentra el área del triángulo.

Solución

( begin {array} {rcl} {A_T} & = & { dfrac {1} {2} cdot b cdot h} {} & = & { dfrac {1} {2} cdot 20 cdot 5 text {sq ft}} {} & = & {10 cdot 6 text {sq ft}} {} & = & {60 text {sq ft}} {} & = & {60 text {ft} ^ 2} end {matriz} )

El área de este triángulo es de 60 pies cuadrados, que a menudo se escribe como 60 ( text {ft} ^ 2 ).

Conjunto de muestra A

Calcula el área del rectángulo.

Solución

Primero convierta 4 pies 2 pulgadas a pulgadas. Como deseamos convertir a pulgadas, usaremos la fracción unitaria ( dfrac { text {12 in.}} { Text {1 ft}} ) ya que tiene pulgadas en el numerador. Luego,

( begin {array} {rcl} { text {4 pies}} & = & { dfrac { text {4 pies}} {1} cdot dfrac { text {12 pulg.}} { text {1 ft}}} {} & = & { dfrac {4 cancel { text {ft}}} {1} cdot dfrac { text {12 pulg.}} {1 cancel { text {ft}}}} {} & = & { text {48 pulg.}} end {array} )

Por lo tanto, ( text {4 pies 2 pulg. = 48 pulg. + 2 pulg. = 50 pulg.} )

( begin {array} {rcl} {A_R} & = & {l cdot w} {} & = & { text {50 pulg.} cdot text {8 pulg.}} { } & = & {400 text {sq in.}} End {array} )

El área de este rectángulo es de 400 pulgadas cuadradas.

Conjunto de muestra A

Calcula el área del paralelogramo.

Solución

( begin {array} {rcl} {A_P} & = & {b cdot h} {} & = & { text {10.3 cm} cdot text {6.2 cm}} {} & = & {63.86 text {cm2}} end {matriz} )

El área de este paralelogramo es 63,86 cm cuadrados.

Conjunto de muestra A

Calcula el área del trapezoide.

Solución

( begin {array} {rcl} {A_ {Trap}} & = & { dfrac {1} {2} cdot (b_1 + b_2) cdot h} {} & = & { dfrac { 1} {2} cdot ( text {14.5 mm + 20.4 mm}) cdot (4.1 text {mm})} {} & = & { dfrac {1} {2} cdot ( text {34,9 mm}) cdot (4,1 text {mm})} {} & = & { dfrac {1} {2} cdot text {(143,09 mm2)}} {} & = & {71.545 text {sq mm}} end {array} )

El área de este trapezoide es de 71,545 mm cuadrados.

Conjunto de muestra A

Calcula el área aproximada del círculo.

Solución

( begin {array} {rcl} {A_c} & = & { pi cdot r ^ 2} {} & approx & {(3.14) cdot (16.8 text {ft}) ^ 2} {} & approx & {(3.14) cdot ( text {282.24 pies cuadrados})} {} & approx & {888.23 text {pies cuadrados}} end {matriz} )

El área de este círculo es de aproximadamente 886,23 pies cuadrados.

Conjunto de práctica A

Calcula el área de cada una de las siguientes figuras geométricas.

Respuesta

36 cm cuadrados

Conjunto de práctica A

Respuesta

37.503 mm cuadrados

Conjunto de práctica A

Respuesta

13,26 pulgadas cuadradas

Conjunto de práctica A

Respuesta

367.5 millas cuadradas

Conjunto de práctica A

Respuesta

452.16 pies cuadrados

Conjunto de práctica A

Respuesta

44,28 cm cuadrados

El significado y la notación del volumen

El producto ( text {(unidad de longitud)} text {(unidad de longitud)} text {(unidad de longitud)} = text {(unidad de longitud)} ^ 3 ), o unidad de longitud cúbica (unidad de longitud cúbica) ), se puede interpretar físicamente como el volumen de un objeto tridimensional.

Volumen
El volumen de un objeto es la cantidad de unidades de longitud cúbica contenidas en el objeto.

Por ejemplo, 4 mm cúbicos significa que 4 cubos, 1 mm en cada lado, llenarían con precisión algún objeto tridimensional. (Es posible que los cubos deban cortarse y reorganizarse para que coincidan con la forma del objeto).

FiguraFórmula de volumenDeclaración
Sólido rectangular ( begin {array} {rcl} {V_R} & = & {l cdot w cdot h} {} & = & { text {(área de la base)} cdot text {(altura) }} end {matriz} )El volumen de un sólido rectangular es la longitud por el ancho por la altura.
Esfera (V_s = dfrac {4} {3} cdot pi cdot r ^ 3 )El volumen de una esfera es ( dfrac {4} {3} ) multiplicado por ( pi ) multiplicado por el cubo del radio.
Cilindro ( begin {array} {rcl} {V_ {Cyl}} & = & { pi cdot r ^ 2 cdot h} {} & = & { text {(área de la base)} cdot text {(altura)}} end {matriz} )
El volumen de un cilindro es ( pi ) multiplicado por el cuadrado del radio multiplicado por la altura.
Cono ( begin {array} {rcl} {V_c} & = & { dfrac {1} {3} cdot pi cdot r ^ 2 cdot h} {} & = & { text {( área de la base)} cdot text {(altura)}} end {matriz} )El volumen de un cono es ( dfrac {1} {3} ) multiplicado por ( pi ) multiplicado por el cuadrado del radio multiplicado por la altura.

Encontrar volúmenes de algunos objetos geométricos comunes

Conjunto de muestra B

Calcula el volumen del sólido rectangular.

Solución

( begin {array} {rcl} {V_R} & = & {l cdot w cdot h} {} & = & { text {9 pulg.} cdot text {10 pulg.} cdot text {3 in.}} {} & = & { text {270 cu in.}} {} & = & { text {270 in.} ^ 3} end {array} )

El volumen de este sólido rectangular es de 270 pulgadas cúbicas.

Conjunto de muestra B

Encuentra el volumen aproximado de la esfera.

Solución

( begin {array} {rcl} {V_S} & = & { dfrac {4} {3} cdot pi cdot r ^ 3} {} & approx & {( dfrac {4} {3}) cdot (3.14) cdot text {(6 cm)} ^ 3} {} & approx & {( dfrac {4} {3}) cdot (3.14) cdot text {(216 cm cúbicos)}} {} & approx & { text {904,32 cm cúbicos}} end {matriz} )

El volumen aproximado de esta esfera es 904,32 cm3, que a menudo se escribe como 904,32 cm (^ 3 ).

Conjunto de muestra B

Encuentra el volumen aproximado del cilindro.

Solución

( begin {array} {rcl} {V_ {Cyl}} & = & { pi cdot r ^ 2 cdot h} {} & approx & {(3.14) cdot ( text {4.9 ft}) ^ 2 cdot text {(7.8 pies)}} {} & approx & {(3.14) cdot ( text {24.01 pies cuadrados}) cdot text {(7.8 pies)}} {} & approx & {(3.14) cdot text {(187.278 pies cúbicos)}} {} & approx & { text {588.05292 pies cúbicos}} end {matriz} )

El volumen de este cilindro es aproximadamente 588.05292 pies cúbicos. El volumen es aproximado porque aproximamos ( pi ) con 3.14.

Conjunto de muestra B

Encuentra el volumen aproximado del cono. Redondea a dos decimales.

Solución

( begin {array} {rcl} {V_ {c}} & = & { dfrac {1} {3} cdot pi cdot r ^ 2 cdot h} {} & approx & { ( dfrac {1} {3}) cdot (3.14) cdot ( text {2 mm}) ^ 2 cdot text {(5 mm)}} {} & approx & {( dfrac {1} {3}) cdot (3.14) cdot ( text {4 mm cuadrados}) cdot text {(5 mm)}} {} & approx & {( dfrac {1} { 3}) cdot (3.14) cdot text {(20 cu mm)}} {} & approx & {20.9 overline {3} text {cu mm}} {} & approx & { text {20.93 mm cúbicos}} end {matriz} )

El volumen de este cono es de aproximadamente 20,93 mm cúbicos. El volumen es aproximado porque aproximamos ( pi ) con 3,14.

Conjunto de práctica B

Calcula el volumen de cada objeto geométrico. Si se requiere ( pi ), calcule con 3,14 y encuentre el volumen aproximado.

Respuesta

21 pulgadas cúbicas

Conjunto de práctica B

Esfera

Respuesta

904.32 pies cúbicos

Conjunto de práctica B

Respuesta

157 metros cúbicos

Conjunto de práctica B

Respuesta

0,00942 pulgadas cúbicas

Ejercicios

Encuentra cada medida indicada.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Zona

Respuesta

16 metros cuadrados

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Zona

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Zona

Respuesta

1,21 mm cuadrados

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Zona

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Zona

Respuesta

18 pulgadas cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Zona

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Área exacta

Respuesta

((60.5 pi + 132) text {pies cuadrados} )

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Superficie aproximada

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Zona

Respuesta

40,8 pulgadas cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Zona

Ejercicio ( PageIndex {11} )

Superficie aproximada

Respuesta

31.0132 pulgadas cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {12} )

Área exacta

Ejercicio ( PageIndex {13} )

Superficie aproximada

Respuesta

158.2874 mm cuadrados

Ejercicio ( PageIndex {14} )

Área exacta

Ejercicio ( PageIndex {15} )

Superficie aproximada

Respuesta

64,2668 pulgadas cuadradas

Ejercicio ( PageIndex {16} )

Zona

Ejercicio ( PageIndex {17} )

Superficie aproximada

Respuesta

43,96 pies cuadrados

Ejercicio ( PageIndex {18} )

Volumen

Ejercicio ( PageIndex {19} )

Volumen

Respuesta

512 centímetros cúbicos

Ejercicio ( PageIndex {20} )

Volumen exacto

Ejercicio ( PageIndex {21} )

Volumen aproximado

Respuesta

11.49 centímetros cúbicos

Ejercicio ( PageIndex {22} )

Volumen aproximado

Ejercicio ( PageIndex {23} )

Volumen exacto

Respuesta

( dfrac {1024} {3} pi text {cu ft} )

Ejercicio ( PageIndex {24} )

Volumen aproximado

Ejercicio ( PageIndex {25} )

Volumen aproximado

Respuesta

22.08 pulgadas cúbicas

Ejercicio ( PageIndex {26} )

Volumen aproximado

Ejercicios de repaso

Ejercicio ( PageIndex {27} )

En el número 23,426, ¿cuántos centenares hay?

Respuesta

4

Ejercicio ( PageIndex {28} )

Enumera todos los factores de 32.

Ejercicio ( PageIndex {29} )

Encuentre el valor de (4 dfrac {3} {4} - 3 dfrac {5} {6} + 1 dfrac {2} {3} ).

Respuesta

( dfrac {31} {12} = 2 dfrac {7} {12} = 2.58 )

Ejercicio ( PageIndex {30} )

Encuentre el valor de ( dfrac {5 + dfrac {1} {3}} {2 + dfrac {2} {15}} ).

Ejercicio ( PageIndex {31} )

Calcula el perímetro.

Respuesta

27,9 millones


Geometría

La geometría es una rama de las matemáticas que incluye el estudio de la forma, el tamaño y otras propiedades de las figuras. Es una de las ramas más antiguas de las matemáticas y puede haber sido utilizada incluso en tiempos prehistóricos. Podemos producir figuras geométricas a partir de situaciones de la vida real. A continuación se muestra una imagen en la que los puntos, las líneas y los planos representan las paredes y los componentes estructurales de los edificios.


La geometría a menudo se divide en geometría plana y geometría sólida.


Volumen de una pirámide

Una pirámide es un sólido tridimensional con una base poligonal. Cada esquina de un polígono está unida a un vértice singular, lo que le da a la pirámide su forma distintiva. Cada borde de la base y el vértice forman un triángulo. Las pirámides se nombran por su forma base.

Para encontrar el volumen de una pirámide, encuentre el volumen del prisma con la misma base y divídalo por tres.

Figura ( PageIndex <4> )


Largo

Convertidor de unidades de longitud

Es una cantidad escalar unidimensional que se utiliza para medir un segmento de línea. La unidad básica de medida de longitud en el sistema internacional de unidades es & quotMETRO & quot . Además, de acuerdo con la longitud de la muestra, se utilizan respectivamente unidades como milímetro, centímetro, decímetro, decámetro, hectómetro y kilómetro.

Unidades más grandes

Unidades más pequeñas

Multiplicar por 10 ( Rightarrow )

( Leftarrow ) Dividir entre 10

La tabla anterior proporciona la información sobre la unidad básica. & # 39METRO & # 39 y sus prefijos y cómo se convierten en unidades más pequeñas y más grandes dependiendo de la medida de la muestra que se va a medir

La regla de conversión es & quot la multiplicación se realiza para convertir unidades más altas en unidades más pequeñas, de manera similar cuando se convierte unidades más pequeñas en unidades más altas, se lleva a cabo la división & quot

Tabla de conversión para medir la longitud

Convierta lo siguiente:

1 metro = 1000 mili metro

70 hectárea metro = ___ metro

1 km = 0.621 millas

1 milla = 1.609 km


Día de prueba

Se espera que llegue de 15 a 30 minutos antes de su cita programada para completar la documentación y la identificación previas al examen. No se permiten artículos personales en el centro de pruebas. Se proporcionan todos los materiales necesarios para el examen, incluido papel borrador, utensilios de escritura y una calculadora científica.

Antes de que comience su examen, tiene la oportunidad de realizar un tutorial de familiarización. Cuando haya completado el tutorial, comienza su examen. Sea consciente de su tiempo, para que tenga la oportunidad de revisar su trabajo. Cuando esté satisfecho con su prueba, envíela para calificar. Se proporciona un informe no oficial de aprobación / no aprobación antes de salir del centro.


Aplicación en el mundo real: comprar madera

La madera se vende comúnmente en cuerdas. Una cuerda de madera es una pila de madera compacta que mide 4 pies por 4 pies por 8 pies. Aproximadamente, ¿cuántas cuerdas de madera producirá el árbol cortado del primer problema?

Un cordón de madera se modela mejor con un prisma rectangular. (V = A_ cdot h ), entonces (V = (4 cdot 4) cdot 8 = 128 pies ^ <3> ). Cada cordón de madera tiene aproximadamente 128 pies cúbicos de madera. Dado que el árbol del primer problema produjo 257 pies cúbicos de madera, esto es ( dfrac <257> <128> approx 2 ) cuerdas de madera.

Ahora, propongamos una ecuación que relacione la longitud alrededor de un árbol en pies, la altura de un árbol en pies y el número aproximado de cuerdas de madera que producirá un árbol.

Desea crear una ecuación que tome una entrada de circunferencia y altura y produzca una salida de cuerdas de madera. Piense en los pasos dados en los Ejemplos A y B y repita estos pasos con variables de circunferencia y altura en lugar de valores específicos.

Usa la distancia alrededor del árbol para encontrar el radio:

El volumen de la madera del árbol es:

Una vez que tenga el volumen de la madera de un árbol dado, para encontrar el número de cuerdas de madera, divida el volumen por 128 pies3, que es la cantidad de pies cúbicos en una cuerda de madera.

Pruebe esta fórmula utilizando la información original del primer problema sobre la tala de árboles para ver si obtiene la respuesta correcta al segundo problema. En este primer problema, C = 9 pies y h = 40 pies.

Esto coincide con la respuesta a, por lo que puede estar seguro de que su ecuación es correcta.

Anteriormente, se le preguntó cómo se relaciona el volumen de la caja de Mark con el tamaño de los cuadrados que cortó.

Sea x la longitud del lado del cuadrado que Mark corta en cada esquina. La parte del papel que se convertirá en la base de la caja una vez hecha está sombreada en rojo a continuación.

Figura ( PageIndex <2> )

La caja es un prisma rectangular. Por tanto, el volumen de la caja es (V = A_ cdot h.

Por lo tanto, el volumen de la caja en términos del tamaño del cuadrado es:

Mark puede usar esta fórmula para determinar el volumen de la caja dada la longitud del lado de los cuadrados que recorta. Por ejemplo, si corta cuadrados de 2 pulgadas por 2 pulgadas, entonces x = 2. El volumen de la caja sería:

Grafica la ecuación (y = 4x ^ <3> & minus39x ^ <2> + 93.5x ) con una calculadora gráfica. ¿Qué representan los puntos en este gráfico? ¿Qué parte de este gráfico es relevante para este problema?

Los puntos en el gráfico representan el volumen de la caja dada la longitud del lado de cada cuadrado recortado.

Figura ( PageIndex <3> )

Porque Mark no puede cortar un cuadrado con una longitud de lado negativa o un cuadrado con una longitud de lado superior a 4,25. en (debido a que el papel tiene solo 8.5 pulgadas de ancho), la parte del gráfico que es relevante es la parte con valores de (x ) entre 0 y 4.25.

Figura ( PageIndex <4> )

Aproximadamente, ¿qué tamaño de cuadrados maximizará el volumen de la caja (hará que la caja tenga el mayor volumen posible)? ¿Cómo te ayuda la gráfica del n. ° 1 a responder esta pregunta?

El volumen máximo parece ocurrir con cuadrados de aproximadamente 1,6 pulgadas por 1,6 pulgadas. El volumen en ese punto parece estar alrededor de (66 en ^ <3> ). El gráfico ayuda a responder esta pregunta porque el pico en el gráfico es donde ocurre el volumen máximo.

Figura ( PageIndex <5> )

¿El tamaño del cuadrado que maximiza el volumen también maximiza el área de superficie de la caja? Explicar.

El área de la superficie de la caja abierta será el área de la caja desplegada (la red). Cuanto más recortes del papel, menor será el área de superficie. Por lo tanto, el tamaño del cuadrado que maximiza el volumen no maximiza también el área de superficie de la caja.


Sudáfrica

En 2000, el Departamento Nacional de Educación publicó la Declaración del plan de estudios nacional revisada para los grados R a 9, para simplificar y fortalecer el plan de estudios de 2005. 6 La Declaración del plan de estudios nacional revisada Los grados R a 9 se aprobó en 2002 y se implementó en 2004. En 2011, este plan de estudios se revisó como Declaración de política de evaluación y plan de estudios, y posteriormente se implementó en 2012. La Declaración de política de evaluación y plan de estudios nacional es un documento de política único, completo y conciso que ha reemplazado a las declaraciones de materias y áreas de aprendizaje, las pautas del programa de aprendizaje y las pautas de evaluación de materias para todas las materias enumeradas en la declaración del plan de estudios nacional. El año escolar 2015 se impartió de acuerdo con este plan de estudios.

El plan de estudios de matemáticas para la Fase de formación y educación general (grados R a 9) consta de cinco conjuntos de resultados de aprendizaje: Números, operaciones y relaciones, patrones, funciones y álgebra, espacio y forma (geometría), medición y manejo de datos. 8 Los niveles de grado determinan el enfoque de cada resultado de aprendizaje. El siguiente es un resumen de los resultados del aprendizaje y los estándares de evaluación que se espera que los estudiantes hayan alcanzado en matemáticas en los grados R a 9.


9.5: Área y volumen de figuras y objetos geométricos - Matemáticas

TI-83/84 PLUS PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS (GEOMETRÍA)

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Área de superficie

Para encontrar el área de superficie de un prisma, encuentre la suma de las áreas de sus caras. El Área lateral es la suma de las áreas de las caras laterales. La unidad básica de área es la unidad cuadrada.

Figura ( PageIndex <3> )


Diferencias clave entre área y volumen

Los puntos que se dan a continuación son significativos, en lo que respecta a la diferencia entre área y volumen:

  1. La región o espacio de la figura u objeto plano se llama área. La cantidad de espacio que contiene un objeto se llama volumen.
  2. Las figuras planas tienen área, mientras que las formas sólidas tienen volumen.
  3. El área describe la cantidad de espacio encerrado, mientras que el volumen determina la capacidad de los sólidos.
  4. La medición del área se realiza en unidades cuadradas, que pueden ser centímetros, yardas, etc. Por el contrario, el volumen se mide en unidades cúbicas.
  5. Las formas que tienen dos dimensiones, es decir, la longitud y la anchura tienen un área. En contraposición a esto, las formas con tres dimensiones, es decir, largo, ancho y alto, tienen volumen.

Conclusión

Por lo tanto, con la discusión anterior, es posible que haya entendido claramente que los dos conceptos matemáticos varían mucho en su uso y medición. Mientras que el área se usa para determinar el espacio cubierto por el objeto plano, el volumen se usa para encontrar el espacio dentro del objeto.


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