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9.2.3: Restar números reales - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Resta dos o más números reales.
  • Simplifique las combinaciones que requieren tanto la suma como la resta de números reales.
  • Resolver problemas de aplicación que requieran restar números reales.

La resta y la suma están estrechamente relacionadas. Se les llama operaciones inversas, porque uno "deshace" al otro. Entonces, al igual que con los números enteros, puede reescribir la resta como una suma para restar números reales.

Las operaciones inversas, como la suma y la resta, son una idea clave en álgebra. Suponga que tiene $ 10 y le presta $ 5 a un amigo. Una hora más tarde, te devuelve los $ 5 que pidió prestados. Has vuelto a tener $ 10. Podría representar la transacción de esta manera:

10-5+5=10.

Esto funciona porque un número menos en sí mismo es 0.

( 3-3 = 0 quad 63,5-63,5 = 0 quad 39,283-39,283 = 0 )

Entonces, sumar un número y luego restar el mismo número es como sumar 0.

Pensando en esta idea en términos de opuesto números, también puede decir que un número más su opuesto también es 0. Observe que cada ejemplo a continuación consta de un par de números positivos y negativos sumados.

( 3 + (- 3) = 0 quad-63.5 + 63.5 = 0 quad 39,283 + (- 39,283) = 0 )

Dos números son inversos aditivos si su suma es 0. Dado que esto significa que los números son opuestos (el mismo valor absoluto pero diferentes signos), "aditivo inverso" es otro término más formal para el opuesto de un número. (Tenga en cuenta que 0 es su propio inverso aditivo).

Puede usar los opuestos o inversos aditivos para reescribir la resta como suma. Si está sumando dos números con diferentes signos, encuentra la diferencia entre sus valores absolutos y mantiene el signo del número con el mayor valor absoluto.

Cuando el mayor número es positivo, es fácil ver la conexión.

( 13+(-7)=13-7)

Ambos equivalen a 6.

Veamos cómo funciona esto. Cuando sumas números positivos, estás avanzando, mirando en una dirección positiva.

Cuando resta números positivos, puede imaginarse moviéndose hacia atrás, pero aún mirando en una dirección positiva.

Ahora veamos qué significa esto cuando uno o más de los números son negativos.

Recuerda que cuando agregas un número negativo, avanzas, pero miras en una dirección negativa (hacia la izquierda).

¿Cómo restas un número negativo? Primero mira y avanza en dirección negativa hasta el primer número, -2. Luego continúe mirando en dirección negativa (hacia la izquierda), pero muévase hacia atrás restar -3.

¿Pero no es este el mismo resultado que si hubiera agregado positivo 3 a -2? -2 + 3 = 1.

Actividad interactiva complementaria

Utilice la recta numérica interactiva a continuación para encontrar las respuestas a los siguientes pares de sumas y diferencias, y compare las respuestas. Deberá especificar ambos números y si está sumando o restando.

( 3-4 text {y} 3 + (- 4) )

( 2 - (- 3) text {y} 2 + 3 )

( -1-5 text {y} -1 + (- 5) )

( -2 - (- 1) text {y} -2 + 1 )

En cada problema de suma, te mueves en una dirección una cierta distancia hacia adelante. En el problema de resta pareada, te mueves en el opuesto dirección la misma distancia hacia atrás. ¡Observe cómo cada uno le da el mismo resultado!

Para restar un número real, puede reescribir el problema como sumando el opuesto (inverso aditivo).

Tenga en cuenta que, si bien esto siempre funciona, la resta de números enteros sigue siendo la misma. Puede restar 38-23 como siempre lo ha hecho. O también puede reescribirlo como

38 + (- 23). De ambas formas obtendrás la misma respuesta.

38-23=38+(-23)=15.

Es su elección en estos casos.

Ejemplo

Calcula 23-73.

Solución

No puedes usar tu método habitual de resta, porque 73 es mayor que 23.
( 23+(-73))Reescribe la resta como sumando el opuesto.
( begin {matriz} {c}
| 23 | = 23 text {y} | -73 | = 73
73-23=50
end {matriz} )
Los sumandos tienen signos diferentes, por lo que debe encontrar la diferencia de sus valores absolutos.
( 23-73=-50)Dado que ( | -73 |> | 23 | ), la respuesta final es negativa.

Ejemplo

Encuentra ( 382 - (- 93) ).

Solución

( 382+93)

( 382+93=475)

Reescribe la resta como sumando el opuesto. El opuesto de -93 es 93. Entonces, esto se convierte en un simple problema de suma.

( 382-(-93)=475)

Otra forma de pensar en restar es pensar en la distancia entre los dos números en la recta numérica. En el ejemplo anterior, 382 es el derecho de 0 por 382 unidades, y -93 es el izquierda de 0 por 93 unidades. La distancia entre ellos es la suma de sus distancias a 0: 382 + 93.

Ejemplo

Encuentra ( 22 frac {1} {3} -x ), cuando ( x = - frac {3} {5} ).

Solución

( 22 frac {1} {3} - izquierda (- frac {3} {5} derecha) )Sustituye ( - frac {3} {5} ) por ( x ) en la expresión.
( 22 frac {1} {3} + frac {3} {5} )Reescribe la resta como sumando el opuesto. El opuesto de ( - frac {3} {5} ) es ( frac {3} {5} ).

( 22 frac {1 cdot 5} {3 cdot 5} + frac {3 cdot 3} {5 cdot 3} = 22 frac {5} {15} + frac {9} { 15})

( 22 frac {5} {15} + frac {9} {15} = 22 frac {14} {15} )

Esto ahora es solo sumar dos números racionales. Recuerda encontrar un denominador común al sumar fracciones. 3 y 5 tienen un múltiplo común de 15; cambie los denominadores de ambas fracciones a 15 (¡y haga los cambios necesarios en el numerador!) antes de sumar.

( 22 frac {14} {15} )

Ejercicio

Encuentra ( -32,3 - (- 16,3) ).

  1. -48.6
  2. -16
  3. 16
  4. 48.6
Respuesta
  1. -48.6

    Incorrecto. Agregaste -32.3 y -16.3. Para restar, cambie el problema a sumar el opuesto de -16,3, lo que da -32,3 + 16,3. Luego, usa las reglas para sumar dos números con diferentes signos. Dado que la diferencia entre 32,3 y 16,3 es 16 y | -32,3 |> | 16,3 |, la respuesta correcta es -16.

  2. -16

    Correcto. Para restar, cambie el problema a sumar el opuesto de -16,3, lo que da -32,3 + 16,3. Luego, usa las reglas para sumar dos números con diferentes signos. Dado que la diferencia entre 32,3 y 16,3 es 16 y | -32,3 |> | 16,3 |, la respuesta correcta es -16.

  3. 16

    Incorrecto. Usaste el signo equivocado. Para restar, cambie el problema a sumar el opuesto de -16,3, lo que da -32,3 + 16,3. Luego, usa las reglas para sumar dos números con diferentes signos. Dado que la diferencia entre 32,3 y 16,3 es 16 y | -32,3 |> | 16,3 |, la respuesta correcta es -16.

  4. 48.6

    Incorrecto. Agregaste los opuestos de ambos números. Para restar, cambie el problema a sumar el opuesto de -16,3, lo que da -32,3 + 16,3. Luego, usa las reglas para sumar dos números con diferentes signos. Dado que la diferencia entre 32,3 y 16,3 es 16 y | -32,3 |> | 16,3 |, la respuesta correcta es -16.

Cuando tienes más de dos numeros reales para sumar o restar, trabaje de izquierda a derecha como lo haría al sumar más de dos números enteros. Asegúrese de cambiar la resta por la suma del opuesto cuando sea necesario.

Ejemplo

Encuentre -23 + 16 - (- 32) -4 + 6.

Solución

( begin {matriz} {r}
{ bf-23 + 16} - (- 32) -4 + 6
{ bf-7} - (- 32) -4 + 6
end {matriz} )
Empiece con -23 + 16. Los sumandos tienen diferentes signos, así que encuentre la diferencia y use el signo del sumando con el mayor valor absoluto. -23 + 16 = -7.
( begin {matriz} {r}
{ bf -7 - (- 32)} - 4 + 6
{ bf-7 + 32} -4 + 6
end {matriz} )
Ahora tienes -7 - (- 32). Reescribe esta resta como la suma del opuesto. El opuesto de -32 es 32, por lo que esto se convierte en -7 + 32, que es igual a 25.
( { bf25-4} +6 )Ahora tienes 25-4. Tú podría reescribe esto como un problema de suma, pero no es necesario.
( bf {21} +6 )Completa la suma final de 21 + 6.

-23+16-(-32)-4+6=27

Ejercicio

Calcula 32 - (- 14) -2 + (- 82).

  1. -66
  2. -38
  3. 98
  4. 126
Respuesta
  1. -66

    Incorrecto. Probablemente restaste -14 incorrectamente. Para restar 32 - (- 14), escribe la resta como suma del opuesto, dando 32 + 14 = 46. Luego reste 2 para obtener 44 y sume -82 para obtener la respuesta correcta de -38.

  2. -38

    Correcto. Para restar 32 - (- 14), escribe la resta como suma del opuesto, dando 32 + 14 = 46. Luego reste 2 para obtener 44 y sume -82 para obtener -38.

  3. 98

    Incorrecto. Es posible que haya pasado por alto los signos negativos en -14 y -82. Para restar 32 - (- 14), escribe la resta como suma del opuesto, dando 32 + 14 = 46. Luego reste 2 para obtener 44 y sume -82 para obtener la respuesta correcta de -38.

  4. 126

    Incorrecto. Probablemente restaste -14 correctamente, pero agregaste 82 en lugar de -82 como último paso. Para restar 32 - (- 14), escribe la resta como suma del opuesto, dando 32 + 14 = 46. Luego reste 2 para obtener 44 y sume -82 para obtener la respuesta correcta de -38.

Las situaciones que usan números negativos pueden requerir tanto restas como sumas. Como viste anteriormente, a veces restar dos números positivos puede dar un resultado negativo. Debe asegurarse de que un número negativo tenga sentido en el problema.

Ejemplo

Boston es, en promedio, 7 grados más cálido que Bangor, Maine. La temperatura mínima en un día frío de invierno en Boston fue de 3oF. ¿Aproximadamente qué temperatura baja esperaría que tuviera Bangor ese día?

Solución

Si la temperatura en Boston es ( x ), la temperatura en Bangor es ( x-7 ).La frase "7 grados más caliente" significa que puede restar 7 grados de la temperatura de Boston para estimar la temperatura de Bangor. (Tenga en cuenta que también puede agregar 7 grados a la temperatura de Bangor para estimar la temperatura de Boston. ¡Tenga cuidado con cuál debería tener el mayor número!)
( x = 3 )Ese día, el mínimo de Boston fue de 3o.
La temperatura de Bangor es ( 3-7 )Sustituye ( x ) por 3 para obtener la temperatura de Bangor.
( 3-7=3+(-7))Como 3 <7, reescribe el problema de resta como suma del opuesto.

Suma los números. Dado que uno es positivo y el otro es negativo, encuentra la diferencia de | -7 | y | 3 |, que es 4. Dado que | -7 |> | 3 |, la suma final es negativa.

Es de esperar que la temperatura baja en Bangor, Maine sea de -4oF.

Ejemplo

¡Everett pagó varias facturas sin equilibrar primero su chequera! Cuando el último cheque que escribió aún debía deducirse de su saldo, la cuenta de Everett ya estaba sobregirada. El saldo fue de - $ 201,35. El cheque final fue de $ 72.66 y se restarán otros $ 25 como cargo por sobregiro. ¿Cuál será el saldo de la cuenta de Everett después de que se deduzca el último cheque y el cargo por sobregiro?

Solución

( -201.35-72.66-25)El nuevo saldo será el saldo existente de - $ 201.35, menos el monto del cheque y el cargo por sobregiro.
( begin {matriz} {r}
-201.35-72.66-25 \
-201.35+(-72.66)-25
end {matriz} )
Comience con la primera resta, ( -201.35-72.66 ). Vuelva a escribirlo como la suma del opuesto de 72,66.
( -274.01-25)Dado que los sumandos tienen los mismos signos, la suma es la suma de sus valores absolutos (201,35 + 72,66) con el mismo signo (negativo).
( -274.01+(-25))Nuevamente, reescribe la resta como la suma del opuesto.
( -274.01+(-25)=-299.01)Suma, sumando la suma de sus valores absolutos y usa el mismo signo para ambos sumandos.

El saldo de la cuenta de Everett será de - $ 299.01.

Ejemplo

Un invierno, Phil voló desde Syracuse, NY a Orlando, FL. La temperatura en Siracusa era de -20oF. La temperatura en Orlando era de 75oF. ¿Cuál fue la diferencia de temperaturas entre Syracuse y Orlando?

Solución

( 75-(-20))Para encontrar la diferencia entre las temperaturas, debe restar. Restamos la temperatura final de la temperatura inicial para obtener el cambio de temperatura.
( 75+20)Reescribe la resta como sumando el opuesto. El opuesto de -20 es 20.
( 75+20=95)Hay una diferencia de 95 grados entre 75o y -20o.

La diferencia de temperaturas es de 95 grados.

Ejercicio

Louise notó que su saldo bancario era de $ 33.72 antes de que se depositara su cheque de pago. Una vez depositado el cheque, el saldo era de $ 822,98. No se realizaron otras deducciones o depósitos. ¿Cuánto dinero le pagaron?

Respuesta

$ 856,70. La cantidad que le pagaron es la diferencia entre los dos saldos: ( 822.98 - (- 33.72) ). Esto es lo mismo que ( 822.98 + 33.72 ) o 856.70.

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto (también llamado su inverso aditivo). Para restar, puede reescribir la resta como sumando el opuesto y luego usar las reglas para la suma de números reales.


Sumar y restar números reales

Al sumar enteros, tenemos que considerar dos casos. El primer caso es si los signos coinciden (ambos positivos o negativos). Si los signos coinciden, sumaremos los números y conservaremos el signo.

Si los signos no coinciden (un número positivo y uno negativo) restaremos los números (como si fueran todos positivos) y luego usaremos el signo del número mayor. Esto significa que si el número mayor es positivo, la respuesta es positiva. Si el número mayor es negativo, la respuesta es negativa.

Sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos)

  • Agregar sus valores absolutos (sin el signo [látex] + [/ látex] o [látex] - [/ látex])
  • Dale a la suma el mismo signo.

Sumar dos números con diferentes signos (uno positivo y otro negativo)

  • Encuentra el diferencia de sus valores absolutos. (Tenga en cuenta que cuando encuentra la diferencia de los valores absolutos, siempre resta el valor absoluto menor del mayor).
  • Dale a la suma el mismo signo que el número con el mayor valor absoluto.

Ejemplo

Los sumandos tienen diferentes signos, por lo que debe encontrar la diferencia de sus valores absolutos.

Dado que [látex] left | −73 right | & gt left | 23 right | [/ látex], la respuesta final es negativa.

Respuesta

Otra forma de pensar en restar es pensar en la distancia entre los dos números en la recta numérica. En el siguiente ejemplo, [latex] 382 [/ latex] es para derecho de 0 por [látex] 382 [/ látex] unidades, y [látex] −93 [/ látex] es el izquierda de 0 por 93 unidades. La distancia entre ellos es la suma de sus distancias a 0: [látex] 382 + 93 [/ látex].

Ejemplo

Respuesta

El siguiente video explica cómo restar dos números enteros con signo.

Ejemplo

Dado que los signos de los dos primeros son iguales, encuentre la suma de los valores absolutos de las fracciones

Dado que ambos números son negativos, la suma es negativa. Si debe dinero, luego pida prestado más, la cantidad que debe aumentará.

[látex] izquierda | - frac <3> <7> ight|=frac<3> <7> [/ latex] y [latex] left | - frac <6> <7> ight|=frac<6> <7> [/ látex]

Ahora suma el tercer número. Los signos son diferentes, así que busque el diferencia de sus valores absolutos.

[látex] izquierda | - frac <9> <7> ight|=frac<9> <7> [/ latex] y [latex] left | frac <2> <7> ight|=frac<2> <7> [/ latex]

Dado que [latex] left | frac <-9> <7> right | & gt left | frac <2> <7> right | [/ latex], el signo de la suma final es el mismo que el signo de [látex] - frac <9> <7> [/ látex].

Respuesta

En el siguiente video verás un ejemplo de cómo sumar tres fracciones con un denominador común que tienen diferentes signos.

Ejemplo

Evalúe [látex] 27,832 + (- 3,06) [/ látex]. Cuando sume decimales, recuerde alinear los puntos decimales de modo que esté sumando décimas a décimas, centésimas a centésimas, y así sucesivamente.

La suma tiene el mismo signo que 27,832 cuyo valor absoluto es mayor.

Respuesta

En el siguiente video hay ejemplos de sumar y restar decimales con diferentes signos.


Restar hojas de trabajo de números de un solo dígito, también conocidas como operaciones de resta

Hojas de trabajo de operaciones de resta con varios rangos e incluyen hojas de trabajo para practicar operaciones individuales.

Restar operaciones de un solo dígito es una habilidad que los estudiantes generalmente aprenden después o mientras están aprendiendo operaciones de suma de un solo dígito. Las hojas de trabajo de resta a continuación están destinadas a ser utilizadas para practicar, evaluar o como una habilidad de enseñanza. No enseñarán a los estudiantes cómo restar o cuál es la conexión entre la suma y la resta para eso, los estudiantes requieren un maestro o un padre. Si los estudiantes están aprendiendo sus operaciones de resta, utilice la página correspondiente a continuación. Por ejemplo, si su estudiante acaba de aprender a restar por 3, entonces probablemente querrá elegir una hoja de trabajo de resta que se enfoque en 3 como resta.


Restar números racionales (grado 7)

Temas relacionados:
Núcleo común para el grado 7
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Planes de lecciones y hojas de trabajo para todos los grados
Más lecciones para el séptimo grado

Los ejemplos, soluciones, hojas de trabajo, videos y lecciones para ayudar a los estudiantes de 7. ° grado a aprender a aplicar y ampliar conocimientos previos de suma y resta para sumar y restar números racionales representan la suma y la resta en un diagrama de recta numérica horizontal o vertical.

C. Entender la resta de números racionales como sumar el inverso aditivo, pagq = pag+ (–q). Muestre que la distancia entre dos números racionales en la recta numérica es el valor absoluto de su diferencia y aplique este principio en contextos del mundo real.

Objetivos de aprendizaje sugeridos

  • Puedo explicar esa resta de números racionales como el inverso aditivo, p - q = p + (-q).
  • Puedo usar una recta numérica para demostrar que la distancia entre dos números es el valor absoluto de la diferencia entre esos números. (p. ej., la distancia entre 8 y 12 es | 8 - 12 | = | -4 |. La distancia entre 8 y 12 es 4.)
  • Puedo crear un contexto del mundo real para explicar que la distancia entre dos números es el valor absoluto de la diferencia entre esos números.

Ejemplos:
1. Reescribe como un problema de suma y resuelve.
14 - 10
-7 - (-5)
-11 - 6
13 - (-9)

2. Karen gana $ 50 cuidando niños y $ 30 haciendo trabajo en el jardín. Karen compra una tarjeta iTunes de $ 25. Represente esta situación en una recta numérica. En esta lección, aprenderá a restar números enteros sumando el inverso aditivo.

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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La constante matemática π = 3,141592…, según la precisión disponible.

La constante matemática mi = 2,718281…, según la precisión disponible.

La constante matemática τ = 6.283185…, a la precisión disponible. Tau es una constante circular igual a 2π, la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio. Para obtener más información sobre Tau, mira el video de Vi Hart Pi is (still) Wrong y comienza a celebrar el día de Tau comiendo el doble de pastel.

Un infinito positivo de coma flotante. (Para infinito negativo, use -math.inf.) Equivalente a la salida de float ('inf').

Un valor de punto flotante “no es un número” (NaN). Equivalente a la salida de float ('nan').

Detalle de la implementación de CPython: El módulo matemático consiste principalmente en envoltorios delgados alrededor de las funciones de la biblioteca matemática de la plataforma C. El comportamiento en casos excepcionales sigue el Anexo F de la norma C99 cuando corresponda. La implementación actual generará ValueError para operaciones no válidas como sqrt (-1.0) o log (0.0) (donde C99 Annex F recomienda señalar una operación no válida o dividir por cero), y OverflowError para resultados que se desborden (por ejemplo, exp (1000.0 )). No se devolverá un NaN de ninguna de las funciones anteriores a menos que uno o más de los argumentos de entrada sea un NaN; en ese caso, la mayoría de las funciones devolverán un NaN, pero (nuevamente siguiendo el Anexo F de C99) hay algunas excepciones a esta regla, por ejemplo pow (float ('nan'), 0.0) o hypot (float ('nan'), float ('inf')).

Tenga en cuenta que Python no hace ningún esfuerzo por distinguir los NaN de señalización de los NaN silenciosos, y el comportamiento de los NaN de señalización permanece sin especificar. El comportamiento típico es tratar a todos los NaN como si estuvieran silenciosos.


Lista de hojas de trabajo de resta

Obtenga el primer paso correcto para restar números con nuestras tablas y gráficos de resta disponibles en color y versiones para imprimir. Utilice los gráficos y tablas en blanco para mejorar la habilidad de restar de un joven alumno.

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Desarrolle un entusiasmo por restar números de 2 dígitos e introduzca a los jóvenes matemáticos de segundo grado el concepto de llevar / pedir prestado con este paquete de restas con y sin reagrupar los archivos PDF de la hoja de trabajo.

Piense en estas hojas de trabajo de restar números como una oportunidad para que los estudiantes jóvenes desarrollen sus habilidades de reagrupación con números de 3 dígitos. Mantenga a los niños ocupados con actividades como encontrar los dígitos que faltan, rodear los números con un círculo y mucho más.

Los niños de cuarto grado avanzan con esta vasta colección de hojas de trabajo en pdf sobre restas que implican encontrar las diferencias de números de varios dígitos que van de 4 a 7 dígitos. Trae un pedazo del mundo real con nuestros problemas de palabras.

¿Qué tan rápido son sus hijos de tercer y cuarto grado para resolver problemas de resta? Compruébelo usted mismo mientras realizan estos ejercicios de resta cronometrados con números de un solo dígito, 2 dígitos y 3 dígitos que muestran su velocidad y precisión.

Supere la monotonía de restar números y comprenda la aplicación de la vida real con una multitud de problemas de palabras. Instruya a los niños de primer grado en adelante para que lean el problema, busquen las palabras clave que marquen un problema de resta, ¡y estarán listos para comenzar!

¿Te asusta un cero en un problema de resta? Exhale gran cantidad de práctica para sus niños de grado 2 y grado 3 con este lote de hojas de trabajo de resta que involucran problemas que incluyen ceros en los minuendos o en ambos números y supere los obstáculos.

Spinners, Stepping Stones, Snakes and Ladders y Subtract-o-Poly, ¿te suenan estas cosas? Restar números no puede ser más divertido que esto. Los niños aprenden mientras juegan y desarrollan parámetros de intelecto y habilidades.

Los papeles cuadriculados resuelven problemas que surgen al alinear números. Aproveche estas hojas de trabajo de resta cuidadosamente redactadas para aumentar las habilidades de los niños en el grado 3 y el grado 4. Agregue al cociente divertido con plantillas coloridas.

Reforzar las habilidades para identificar los conjuntos de números que componen una familia de operaciones, encontrar los miembros que faltan, escribir las operaciones de suma y resta. Aquí se incluyen también plantillas en blanco.

La suma y la resta juntas en una página pueden ser caóticas. Perfeccione la dinámica de sumar y restar números en formato de columna y horizontal y revise la destreza de su hijo de 3er y 4to grado para resolverlos con este montón de archivos PDF.

Aumente su conocimiento para estimar la diferencia redondeando los números a la decena, centena, mil o diez mil más cercanas. Posteriormente, los niños de tercer grado también pueden probar suerte con la estimación inicial.

Facilite la resta con este conjunto de hojas de trabajo de resta imprimibles con ejercicios interesantes como aplicar la regla para completar el cuadro de salida, observar las columnas de entrada y salida para escribir la regla y más.


9.2.3: Restar números reales - Matemáticas

Restar números reales

· Resta dos o más números reales.

· Simplificar combinaciones que requieren tanto sumar como restar números reales.

· Resolver problemas de aplicación que requieran la resta de números reales.

La resta y la suma están estrechamente relacionadas. Se les llama operaciones inversas, porque uno "deshace" al otro. Entonces, al igual que con los números enteros, puede reescribir la resta como una suma para restar números reales.

Las operaciones inversas, como la suma y la resta, son una idea clave en álgebra. Suponga que tiene $ 10 y le presta $ 5 a un amigo. Una hora más tarde, te devuelve los $ 5 que pidió prestados. Has vuelto a tener $ 10. Podría representar la transacción de esta manera:

Esto funciona porque un número menos en sí mismo es 0.

3 – 3 = 0 63.5 – 63.5 = 0 39,283 – 39,283 = 0

Entonces, sumar un número y luego restar el mismo número es como sumar 0.

Pensando en esta idea en términos de opuesto números, también puede decir que un número más su opuesto también es 0. Observe que cada ejemplo a continuación consta de un par de números positivos y negativos sumados.

3 + (−3) = 0 −63.5 + 63.5 = 0 39,283 + (−39,283) = 0

Dos números son inversos aditivos si su suma es 0. Dado que esto significa que los números son opuestos (el mismo valor absoluto pero diferentes signos), & quot; inverso aditivo & quot es otro término más formal para el opuesto de un número. (Tenga en cuenta que 0 es su propio inverso aditivo).

Restar números reales

Puede usar los opuestos o inversos aditivos para reescribir la resta como suma. Si está sumando dos números con diferentes signos, encuentra la diferencia entre sus valores absolutos y mantiene el signo del número con el mayor valor absoluto.

Cuando el mayor número es positivo, es fácil ver la conexión.

Veamos cómo funciona esto. Cuando sumas números positivos, estás avanzando, mirando en una dirección positiva.

Cuando resta números positivos, puede imaginarse moviendo hacia atrás, pero aún mirando en una dirección positiva.

Ahora veamos qué significa esto cuando uno o más de los números son negativos.

Recuerda que cuando agregas un número negativo, avanzas, pero miras en una dirección negativa (hacia la izquierda).

¿Cómo restas un número negativo? Primero mira y avanza en dirección negativa hasta el primer número, −2. Luego continúe mirando en dirección negativa (hacia la izquierda), pero muévase hacia atrás restar −3.

Pero, ¿no es este el mismo resultado que si hubiera agregado 3 positivo a -2? −2 + 3 = 1.

Utilice la recta numérica interactiva a continuación para encontrar las respuestas a los siguientes pares de sumas y diferencias, y compare las respuestas. Deberá especificar ambos números y si está sumando o restando.

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En cada problema de suma, te enfrentas en una dirección y avanzas un poco. En el problema de la resta pareada, te enfrentas al opuesto dirección y luego mover la misma distancia hacia atrás. ¡Cada uno da el mismo resultado!

Para restar un número real, puede reescribir el problema como sumando el opuesto (inverso aditivo).

Tenga en cuenta que, si bien esto siempre funciona, la resta de números enteros sigue siendo la misma. Puede restar 38 - 23 como siempre lo ha hecho. O también puede reescribirlo como

38 + (−23). De ambas formas obtendrás la misma respuesta.

Es su elección en estos casos.

No puedes usar tu método habitual de resta, porque 73 es mayor que 23.

Reescribe la resta como sumando el opuesto.

Los sumandos tienen diferentes signos, por lo que debe encontrar la diferencia de sus valores absolutos.

Desde | - 73 | & gt | 23 |, la respuesta final es negativa.

Reescribe la resta como sumando el opuesto. El opuesto de −93 es 93. Entonces, esto se convierte en un simple problema de suma.

Otra forma de pensar en restar es pensar en la distancia entre los dos números en la recta numérica. En el ejemplo anterior, 382 es el derecho de 0 por 382 unidades, y −93 es el izquierda de 0 por 93 unidades. La distancia entre ellos es la suma de sus distancias a 0: 382 + 93.

Substituto para X en la expresión.

Reescribe la resta como sumando el opuesto. Lo contrario de es.

Esto ahora es solo sumar dos números racionales. Recuerda encontrar un denominador común al sumar fracciones. 3 y 5 tienen un múltiplo común de 15, cambia los denominadores de ambas fracciones a 15 (¡y haz los cambios necesarios en el numerador!) Antes de sumar.

Incorrecto. Agregaste −32.3 y −16.3. Para restar, cambie el problema a sumar el opuesto de −16,3, lo que da −32,3 + 16,3. Luego, usa las reglas para sumar dos números con diferentes signos. Dado que la diferencia entre 32,3 y 16,3 es 16 y | −32,3 | & gt | 16.3 |, la respuesta correcta es −16.

Correcto. Para restar, cambie el problema a sumar el opuesto de −16,3, lo que da
−32,3 + 16,3. Luego, usa las reglas para sumar dos números con diferentes signos. Dado que la diferencia entre 32,3 y 16,3 es 16 y | −32,3 | & gt | 16.3 |, la respuesta correcta es −16.

Incorrecto. Usaste el signo equivocado. Para restar, cambie el problema a sumar el opuesto de −16,3, lo que da −32,3 + 16,3. Luego, usa las reglas para sumar dos números con diferentes signos. Dado que la diferencia entre 32,3 y 16,3 es 16 y | −32,3 | & gt | 16.3 |, la respuesta correcta es −16.

Incorrecto. Agregaste los opuestos de ambos números. Para restar, cambie el problema a sumar el opuesto de −16,3, lo que da −32,3 + 16,3. Luego, usa las reglas para sumar dos números con diferentes signos. Dado que la diferencia entre 32,3 y 16,3 es 16 y | −32,3 | & gt | 16.3 |, la respuesta correcta es −16.

Sumar y restar más de dos números reales

Cuando tienes más de dos numeros reales para sumar o restar, trabaje de izquierda a derecha como lo haría al sumar más de dos números enteros. Asegúrese de cambiar la resta por la suma del opuesto cuando sea necesario.

Encontrar23 + 16 – (32) – 4 + 6.

Comienza con −23 + 16. Los sumandos tienen diferentes signos, así que encuentra la diferencia y usa el signo del sumando con el mayor valor absoluto. −23 + 16 = −7.

7 – (32) – 4 + 6

Ahora tienes - 7 - (- 32). Reescribe esta resta como la suma del opuesto. El opuesto de - 32 es 32, por lo que esto se convierte en - 7 + 32, que es igual a 25.

Ahora tiene 25 - 4. Usted podría reescribe esto como un problema de suma, pero no es necesario.

Completa la suma final de 21 + 6.

Incorrecto. Probablemente restaste −14 incorrectamente. Para restar 32 - (−14), escribe la resta como la suma del opuesto, dando 32 + 14 = 46. Luego resta 2 para obtener 44 y suma −82 para obtener la respuesta correcta de −38.

Correcto. Para restar 32 - (−14), escribe la resta como la suma del opuesto, dando 32 + 14 = 46. Luego resta 2 para obtener 44 y suma −82 para obtener −38.

Incorrecto. Es posible que haya pasado por alto los signos negativos en −14 y −82. Restar

32 - (−14), escribe la resta como la suma del opuesto, dando 32 + 14 = 46. Luego resta 2 para obtener 44 y suma −82 para obtener la respuesta correcta de −38.

Incorrecto. Probablemente restaste −14 correctamente, pero agregaste 82 en lugar de −82 como último paso. Para restar 32 - (−14), escribe la resta como la suma del opuesto, dando 32 + 14 = 46. Luego resta 2 para obtener 44 y suma −82 para obtener la respuesta correcta de −38.

Aplicaciones de la resta

Las situaciones que usan números negativos pueden requerir tanto restas como sumas. Como viste anteriormente, a veces restar dos números positivos puede dar un resultado negativo. Debe asegurarse de que un número negativo tenga sentido en el problema.

Boston es, en promedio, 7 grados más cálido que Bangor, Maine. La temperatura mínima en un día frío de invierno en Boston fue de 3 ° F. ¿Aproximadamente qué temperatura baja esperaría que tuviera Bangor ese día?

Si la temperatura en Boston es X, la temperatura en Bangor es X – 7.

La frase "7 grados más caliente" significa que puede restar 7 grados de la temperatura de Boston para estimar la temperatura de Bangor. (Tenga en cuenta que también puede agregar 7 grados a la temperatura de Bangor para estimar la temperatura de Boston. ¡Tenga cuidado con cuál debería tener el mayor número!)

Ese día, el mínimo de Boston fue de 3 °.

La temperatura de Bangor es de 3 a 7

Sustituye 3 por X para obtener la temperatura de Bangor.

Dado que 3 & lt 7, reescribe el problema de resta como suma del opuesto.

Suma los números. Dado que uno es positivo y el otro es negativo, encuentra la diferencia de | - 7 | y | 3 |, que es 4. Dado que | - 7 | & gt | 3 |, la suma final es negativa.

Es de esperar que la temperatura baja en Bangor, Maine sea de -4 ° F.

¡Everett pagó varias facturas sin equilibrar primero su chequera! Cuando el último cheque que escribió aún debía deducirse de su saldo, la cuenta de Everett ya estaba sobregirada. El saldo fue −$201,35. El cheque final fue de $ 72.66 y se restarán otros $ 25 como cargo por sobregiro. ¿Cuál será el saldo de la cuenta de Everett después de que se deduzca el último cheque y el cargo por sobregiro?

The new balance will be the existing balance of −$ 201.35, minus the check's amount and the overdraft charge.

201.35 + (72.66) – 25

Start with the first subtraction, − 201.35 – 72.66. Rewrite it as the addition of the opposite of 72.66.

Since the addends have the same signs, the sum is the sum of their absolute values (201.35 + 72.66) with the same sign (negative).

Again, rewrite the subtraction as the addition of the opposite.

Add, by adding the sum of their absolute values and use the same sign as both addends.

Everett’s account balance will be $ − 299.01.

One winter, Phil flew from Syracuse, NY to Orlando, FL. The temperature in Syracuse was20°F. The temperature in Orlando was 75°F. What was the difference in temperatures between Syracuse and Orlando?

To find the difference between the temperatures, you need to subtract. We subtract the ending temperature from the beginning temperature to get the change in temperature.

Rewrite the subtraction as adding the opposite. The opposite of − 20 is 20.

There is a 95 degree difference between 75° and − 20°.

The difference in temperatures is 95 degrees.

Louise noticed that her bank balance was −$33.72 before her paycheck was deposited. After the check had been deposited, the balance was $822.98. No other deductions or deposits were made. How much money was she paid?

Answer: $856.70. The amount she was paid is the difference between the two balances: 822.98 – (−33.72). This is the same as 822.98 + 33.72, or 856.70.

Subtracting a number is the same as adding its opposite (also called its additive inverse). To subtract you can rewrite the subtraction as adding the opposite and then use the rules for the addition of real numbers.


Mathematics Part I Solutions for Class 9 Maths Chapter 2 - Real Numbers

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Question 1:

Classify the decimal form of the given rational numbers into terminating and non-terminating recurring type.

i   13 5 ii   2 11 iii   29 16 iv   17 125     v   11 6

Respuesta:

⇒ The denominator is in the form of 2 m × 5 n , where metro y norte are non-negative integers.

So, the decimal form of 13 5 will be terminating type.

⇒ The denominator is not in the form of 2 m × 5 n , where metro y norte are non-negative integers.

So, the decimal form of 2 11 will be non-terminating recurring type.

⇒ The denominator is in the form of 2 m × 5 n , where metro y norte are non-negative integers.

So, the decimal form of 29 16 will be terminating type.

⇒ The denominator is in the form of 2 m × 5 n , where metro y norte are non-negative integers.

So, the decimal form of 17 125 will be terminating type.

⇒ The denominator is not in the form of 2 m × 5 n , where metro y norte are non-negative integers.

So, the decimal form of 11 6 will be non-terminating recurring type.

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Question 2:

Write the following rational numbers in decimal form.

i   127 200     ii   25 99   iii   23 7   iv   4 5   v   17 8

Respuesta:

i   127 200 = 127 200 × 5 5 = 635 1000 = 0 . 635

ii   25 99 = 4 4 × 25 99 = 1 4 × 100 99 = 1 4 × 1 . 010101 . . . = 0 . 2525 . . . = 0 . 25 ¯ ​

iii   23 7 = 3 . 2857142857 . . . = 3 . 285714 ¯ ​

v   17 8 = 17 8 × 125 125 = 2125 1000 = 2 . 125 ​

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Question 3:

Write the following rational numbers in p q form

Respuesta:

i   Let   x = 0 . 6 °               . . . 1 x = 0 . 666 . . . Multiplying   both   sides   by   10 ,   we   get 10 x = 6 . 666 . . .                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 9 x = 6 ∴   x = 6 9 So ,   0 . 6 ° = 2 3

ii   Let   x = 0 . 37 ¯               . . . 1 Multiplying   both   sides   by   100 ,   we   get 100 x = 37 . 37 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 99 x = 37 ∴   x = 37 99 So ,   0 . 37 ¯ = 37 99 ​

iii   Let   x = 3 . 17 ¯               . . . 1 Multiplying   both   sides   by   100 ,   we   get 100 x = 317 . 17 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 99 x = 314 ∴   x = 314 99 So ,   3 . 17 ¯ = 314 99 ​

iv   Let   x = 15 . 89 ¯               . . . 1 Multiplying   both   sides   by   100 ,   we   get 100 x = 1589 . 89 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 99 x = 1574 ∴   x = 1574 99 So ,   3 . 17 ¯ = 1574 99 ​

v   Let   x = 2 . 514 ¯                     . . . 1 Multiplying   both   sides   by   1000 ,   we   get 1000 x = 2514 . 514 ¯                     . . . 2 Subtracting   1   from   2 ,   we   get 999 x = 2512 ∴   x = 2512 999 So ,   2 . 514 ¯ = 2512 999 ​

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Question 1:

Show that 4 2 is an irrational number.

Respuesta:

Let us assume that 4 2 is a rational number.

⇒ 4 2 = p q , where p y q are the integers and q ≠ 0.

Since, p, q and 4 are integers. So, p 4 q is a rational number.

⇒ 2 is also a rational number.

but this contradicts the fact that 2 is an irrational number.

This contradiction has arisen due to the wrong assumption that 4 2 is a rational number.

Hence, 4 2 is an irrational number.

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Question 2:

Prove that 3 + 5 is an irrational number.

Respuesta:

Let us assume that 3 + 5 is a rational number.

⇒ 3 + 5 = p q , where p y q are the integers and q ≠ 0.

Since, p, q and 3 are integers. So, p - 3 q q is a rational number.

⇒ 5 is also a rational number.

but this contradicts the fact that 5 is an irrational number.

This contradiction has arisen due to the wrong assumption that 3 + 5 is a rational number.

Hence, 3 + 5 ​ is an irrational number.

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Question 3:

Represent the numbers 5 and 10 on a number line .

Respuesta:

(i) Steps of construction for 5 :

Step 1: Draw a number line. Mark O as the zero on the number line.

Step 2: At point A, draw AB ⊥ OA such that AB = 1 unit.

Step 3: With point O as the centre and radius OB, draw an arc intersecting the number line at point P.

Thus, P is the point for 5 on the number line.

(ii) Steps of construction for 10 :

Step 1: Draw a number line. Mark O as the zero on the number line.

Step 2: At point A, draw AB ⊥ OA such that AB = 1 unit.

Step 3: With point O as the centre and radius OB, draw an arc intersecting the number line at point C.


Solved Examples on Subtraction

Ejemplo 1: In an International cricket match, Sri Lanka scored 236 runs and India scored 126 runs. How many more runs should India score to be equal to the number of runs scored by Sri Lanka?

Runs scored by Sri Lanka = 236 Runs scored by India = 126
To find the number of runs that India should score more to be equal to the number of runs scored by Sri Lanka, we will subtract 126 from 236.

H T O
2 3 6
- 1 2 6
1 1 0

Therefore, India must score 110more runs to be equal to Sri Lanka's runs.

Ejemplo 2: Jerry collected 189 seashells and Eva collected 54 shells. Who collected more seashells and by how much?

Number of shells collected by Jerry = 189 Number of shells collected by Eva = 54

This shows that Jerry collected more seashells. Let us subtract 189 - 54 to get the difference.

H T O
1 8 9
- 0 5 4
1 3 5

Therefore, Jerry collected 135 seashells more than Eva.

Example 3: During an annual Easter egg hunt, the participants found 2469 eggs in the clubhouse, out of which 54 Easter eggs were broken. Can you find out the number of unbroken eggs?

The number of easter eggs found in the Clubhouse = 2469 Number of easter eggs that were broken = 54 The total number of unbroken eggs=?

Now, we will subtract the number of broken eggs from the total number of eggs.

Th H T O
2 4 6 9
- 5 4
2 4 1 5