Artículos

5: Funciones trigonométricas


Las funciones trigonométricas son funciones de un ángulo. Son importantes en el estudio de triángulos y en el modelado de fenómenos periódicos, entre muchas otras aplicaciones.

  • 5.0: Preludio a las funciones trigonométricas
    Una función que repite sus valores en intervalos regulares se conoce como función periódica. Los gráficos de tales funciones muestran una forma general que refleja un patrón que se repite constantemente. Esto significa que la gráfica de la función tiene la misma salida exactamente en el mismo lugar en cada ciclo. Y esto se traduce en que todos los ciclos de la función tienen exactamente la misma duración.
  • 5.1: Ángulos
    Se forma un ángulo a partir de la unión de dos rayos, manteniendo fijo el lado inicial y rotando el lado terminal. La cantidad de rotación determina la medida del ángulo. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial se encuentra a lo largo del eje x positivo. Un ángulo positivo se mide en sentido antihorario desde el lado inicial y un ángulo negativo se mide en sentido horario.
  • 5.2: Círculo unitario - Funciones seno y coseno
    En esta sección, examinaremos este tipo de movimiento giratorio alrededor de un círculo. Para hacerlo, primero debemos definir el tipo de círculo y luego colocar ese círculo en un sistema de coordenadas. Luego, podemos discutir el movimiento circular en términos de pares de coordenadas.
  • 5.3: Las otras funciones trigonométricas
    Las funciones trigonométricas nos permiten especificar las formas y proporciones de los objetos independientemente de las dimensiones exactas. Ya hemos definido las funciones seno y coseno de un ángulo. Aunque el seno y el coseno son las funciones trigonométricas más utilizadas, existen otras cuatro. Juntos forman el conjunto de seis funciones trigonométricas. En esta sección, investigaremos las funciones restantes.
  • 5.4: Trigonometría de triángulo rectángulo
    Anteriormente hemos definido el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto en el círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo. En esta sección, veremos otra forma de definir funciones trigonométricas usando propiedades de triángulos rectángulos.
  • 5.E: Funciones trigonométricas (ejercicios)
  • 5.R: Funciones trigonométricas (revisión)
    Anteriormente hemos definido el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto en el círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo. En esta sección, veremos otra forma de definir funciones trigonométricas usando propiedades de triángulos rectángulos.

5: Funciones trigonométricas

Tenemos

seg 4 θ & # 8211 seg 2 θ = tan 4 θ + tan 2 θ

Tomando LHS

= seg 4 θ & # 8211 seg 2 θ



= seg 2 θ (seg 2 θ y # 8211 1)

Usando sec 2 θ = tan 2 θ + 1, obtenemos

= (1 + tan 2 θ) tan 2 θ

= tan 2 θ + tan 4 θ

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)

Pregunta 2. sin 6 θ + cos 6 θ = 1 & # 8211 3 sin 2 θcos 2 θ

Tenemos

sin 6 θ + cos 6 θ = 1 & # 8211 3 sin 2 θcos 2 θ



Tomando LHS

= sin 6 θ + cos 6 θ

= (sen 2 θ) 3 + (cos 2 θ) 3

Usando a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 & # 8211 ab), obtenemos

= (sin 2 θ + cos 2 θ) (sin 4 θ + cos 4 θ & # 8211 sin 2 θcos 2 θ)

Usando a 2 + b 2 = (a + b) 2 & # 8211 2ab y sin 2 θ + cos 2 θ = 1, obtenemos

= (1) [(sin 2 θ + cos 2 θ) 2 & # 8211 2sin 2 θcos 2 θ & # 8211 sin 2 θcos 2 θ]

= (1) [(1) 2 & # 8211 3sin 2 θcos 2 θ]

= 1 & # 8211 3sin 2 θcos 2 θ

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)


Pregunta 3. (cosecθ & # 8211 sinθ) (secθ & # 8211 cosθ) (tanθ + cotθ) = 1

Tenemos

(cosecθ & # 8211 sinθ) (secθ & # 8211 cosθ) (tanθ + cotθ) = 1

Tomando LHS

= (cosecθ & # 8211 sinθ) (secθ & # 8211 cosθ) (tanθ + cotθ)

Usando cosecθ = 1 / sinθ y secθ = 1 / cosθ

=

=

=

= 1


Pregunta 4. cosecθ (secθ & # 8211 1) & # 8211 cotθ (1 & # 8211 cosθ) = tanθ & # 8211 sinθ

Tenemos

cosecθ (secθ & # 8211 1) & # 8211 cotθ (1 & # 8211 cosθ) = tanθ & # 8211 sinθ

Tomando LHS

=

=

=

=

=



= />

= />

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)

Pregunta 5.

Tenemos

Tomando LHS

=

Usando a 2 & # 8211 b 2 = (a + b) (a & # 8211 b) y a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 ab), obtenemos

=



=

=

=

= sinA

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)

Pregunta 6.

Tenemos

Tomando LHS

=



Usando tanA = sinA / cosA y cotA = cosA / sinA, obtenemos

=

=

=

=

Usando a 3 & # 8211 b 3 = (a & # 8211 b) (a 2 + b 2 + ab), obtenemos

=

=

=

Usando cosecA = 1 / sinA y secA = 1 / cosA, obtenemos



= secAcosecA + 1

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)

Pregunta 7.

Tenemos

Tomando LHS

=

Usando a 3 ± b 3 = (a ± b) (a 2 + b 2 ± ab), obtenemos

=

Usando sin 2 θ + cos 2 θ = 1, obtenemos

= 1 & # 8211 sinAcosA + 1 + sinAcosA

= 2

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)

Pregunta 8. (secAsecB + tanAtanB) 2 & # 8211 (secAtanB + tanAsecB) 2 = 1

Tenemos

(secAsecB + tanAtanB) 2 & # 8211 (secAtanB + tanAsecB) 2 = 1

Tomando LHS

= (secAsecB + tanAtanB) 2 & # 8211 (secAtanB + tanAsecB) 2

Expandiendo la ecuación anterior usando la fórmula

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab



= (secAsecB) 2 + (tanAtanB) 2 + 2 (secAsecB) (tanAtanB) & # 8211

(secAtanB) 2 y # 8211 (tanAsecB) 2 y # 8211 2 (secAtanB) (tanAsecB)

= seg 2 Asec 2 B + tan 2 Atan 2 B & # 8211 seg 2 Atan 2 B & # 8211 tan 2 Asec 2 B

= sec 2 A (sec 2 B & # 8211 tan 2 B) & # 8211 tan 2 A (sec 2 B & # 8211 tan 2 B)

= sec 2 A & # 8211 tan 2 A - (Usando sec 2 θ & # 8211 tan 2 θ = 1)

= 1

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)

Pregunta 9.

Tenemos

Tomando RHS

=

=

= ×

=

=

=

=

=

=



=

=

=

= ×

=

=

=

=

Por lo tanto, RHS = LHS (probado)

Pregunta 10.

Tenemos

Tomando LHS

=

Usando 1 + tan 2 x = sec 2 x y 1 + cot 2 x = cosec 2 x, obtenemos

=

=

=

=

=

Usando a 2 + b 2 = (a + b) 2 & # 8211 2ab, obtenemos

=

=

=

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)

Pregunta 11.

Tenemos

Tomando LHS

=



Usando las fórmulas cotθ = cosθ / sinθ y tanθ = sinθ / cosθ, obtenemos

=

=

=

Usando a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 + b 2 & # 8211 ab), obtenemos

=

=

= 1 & # 8211 (sin 2 θ + cos 2 θ) + sinθcosθ

= 1 & # 8211 1 + sinθcosθ

= sinθcosθ

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)

Pregunta 12.

Tenemos

=

Tomando LHS

=

=

=

=

=



=

=

=

=

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)

Pregunta 13. (1 + tanαtanβ) 2 + (tanα & # 8211 tanβ) 2 = sec 2 αsec 2 β

Tenemos

(1 + tanαtanβ) 2 + (tanα & # 8211 tanβ) 2 = sec ^ 2αsec 2 β

Tomando LHS

= (1 + tanαtanβ) 2 + (tanα & # 8211 tanβ) 2

= (1 + tan 2 αtan 2 β + 2tanαtanβ) + (tan 2 α + tan 2 β & # 8211 2tanαtanβ)

= 1 + tan 2 αtan 2 β + tan 2 α + tan 2 β

= (1 + tan 2 β) + tan 2 α (1 + tan 2 β)

= (1 + tan 2 β) (1 + tan 2 α)

= segundos 2 α segundos 2 β

Por lo tanto, LHS = RHS (probado)


Subsección 0.5.1 Medición de ángulos con radianes

Los senos, cosenos y tangentes son muy útiles al estudiar triángulos. La entrada en cada una de estas funciones es un ángulo y la salida nos dice la razón de las longitudes de los lados del triángulo. Hay dos unidades de uso común para medir ángulos, grados y radianes, por lo que hay dos versiones de uso común de las funciones trigonométricas. Hay ( sin x ) donde (x ) está en grados, y hay ( sin x ) donde (x ) está en radianes. El cálculo es mucho más fácil si medimos ángulos en radianes, así que eso es lo que usaremos a lo largo de este curso. Si alguna vez tiene problemas para obtener los números correctos de su calculadora, es posible que desee volver a verificar que su calculadora esté en modo radianes.

Radián

Un radián es una medida de ángulo que se define de modo que si tenemos un ángulo con un tamaño de un radián en un círculo unitario (con un radio (r = 1 )), entonces la longitud del arco a lo largo de la circunferencia de el círculo también es igual a uno, como vemos en la Figura 2. Como la circunferencia de un círculo es (2 pi r text <,> ) esto significa que para un círculo completo,

Del mismo modo, medio círculo es

comenzar 57,3 ^ circ approx frac <180 ^ circ> < pi> = 1 text . final Figura 0.5.2 Medidas comunes en radianes.

Debido a que definimos el radián de esta manera, esto significa que la longitud del arco (s ) a lo largo de la circunferencia de un círculo con radio (r ) sobre el ángulo ( theta ) se puede calcular como (s = r theta ) siempre que el ángulo ( theta ) se mida en radianes.

Figura 0.5.3 Longitud, ángulo y radio del arco en un círculo.


5.6: Desplazamiento de fase de funciones sinusoidales

Una función periódica que no comienza en el eje sinusoidal o en un máximo o un mínimo se ha desplazado horizontalmente. Este movimiento horizontal permite diferentes puntos de partida ya que una onda sinusoidal no tiene principio ni fin.

¿Cuáles son otras cinco formas de escribir la función (f (x) = 2 cdot sin x? )

Desplazamiento de fase de funciones sinusoidales

La función sinusoidal general es:

La constante (c ) controla el cambio de fase. Cambio de fase es el desplazamiento horizontal hacia la izquierda o hacia la derecha para funciones periódicas. Si (c = frac < pi> <2> ) entonces la onda sinusoidal se desplaza hacia la izquierda ( frac < pi> <2> ). Si (c = -3 ) entonces la onda sinusoidal se desplaza a la derecha (3. ) Esta es la dirección opuesta a la que cabría esperar, pero es coherente con las reglas de transformaciones para todas las funciones.

Para graficar una función como (f (x) = 3 cdot cos left (x- frac < pi> <2> right) +1, ) primero encuentra el inicio y el final de un período. Luego, dibuje solo esa parte del eje sinusoidal. Finalmente, trace los 5 puntos importantes para un gráfico de coseno teniendo en cuenta la amplitud. El gráfico se muestra a continuación.

Generalmente (b ) siempre se escribe como positivo. Si se encuentra en una situación en la que (b ) es negativo, use su conocimiento de las funciones pares e impares para reescribir la función.

Ejemplos de

Anteriormente, se le pidió que escribiera (f (x) = 2 cdot sin x ) de cinco formas diferentes. La función (f (x) = 2 cdot sin x ) se puede reescribir de infinitas formas.

(
2 cdot sin x = -2 cdot cos left (x + frac < pi> <2> right) = 2 cdot cos left (x- frac < pi> <2> derecha) = - 2 cdot sin (x- pi) = 2 cdot sin (x-8 pi)
)

Todo depende de dónde elija comenzar y si ve un gráfico de seno o coseno positivo o negativo.

Dado el siguiente gráfico, identifique modelos algebraicos de seno y coseno equivalentes.

O se trata de una función seno desplazada a la derecha en ( frac < pi> <4> ) o un gráfico de coseno desplazado a la izquierda ( frac <5 pi> <4> ).

En (t = 5 ) minutos, William sube 2 pies para sentarse en el punto más bajo de la noria que tiene un diámetro de 80 pies. Una hora más tarde, finalmente se suelta del volante después de hacer una sola revolución. Durante esa hora se preguntó cómo modelar su altura a lo largo del tiempo en una gráfica y una ecuación.

Dado que el período es 60, que funciona muy bien con (360 ^ < circ> ) en un círculo, este problema se mostrará en grados.

William elige ver un coseno negativo en la gráfica. Él identifica que la amplitud es de 40 pies. El desplazamiento vertical del eje sinusoidal es de 42 pies. El desplazamiento horizontal es de 5 minutos a la derecha.

El período es de 60 (no 65) minutos, lo que implica (b = 6 ) cuando se representa en grados.

Por tanto, una ecuación sería:

Las tablas de mareas informan las horas y las profundidades de las mareas altas y bajas. Aquí hay parte del informe de mareas de Salem, Massachusetts, con fecha del 19 de septiembre de 2006.

Encuentra una ecuación que prediga la altura según el tiempo. Elija cuándo (t = 0 ) con cuidado.

Hay dos lugares lógicos para establecer (t = 0 ). El primero es a la medianoche de la noche anterior y el segundo es a las 10:15 a. M. La primera opción ilustra un cambio de fase que es el foco de este concepto, pero la segunda opción produce una ecuación más simple. Establezca (t = 0 ) para que sea a la medianoche y elija las unidades para que sean en minutos.

Estos números parecen indicar una curva coseno positiva. La amplitud es 4 y el desplazamiento vertical es 5. El desplazamiento horizontal es 615 y el período es 720.

Usa la ecuación del Ejemplo 4 para averiguar cuándo la marea estará exactamente en (8 mathrm) en septiembre (19 ^).

Este problema le da la (y ) y le pide que encuentre la (x ). Más adelante aprenderá cómo resolver esto algebraicamente, pero por ahora use el poder del botón de intersección en su calculadora para intersecar la función con la línea (y = 8 ). Recuerde encontrar todos los valores de (x ) entre 0 y 1440 para dar cuenta de las 24 horas completas.

Hay cuatro veces dentro de las 24 horas en las que la altura es exactamente de 8 pies. Puede convertir estos tiempos en horas y minutos si lo prefiere.

(t approx 532.18 ) (8:52), 697.82 (11:34), 1252.18 (20:52), 1417.82 (23:38)

Grafica cada una de las siguientes funciones.

Da una posible ecuación sinusoidal para cada una de las siguientes gráficas.

Da una posible función coseno para cada una de las siguientes gráficas.

La temperatura durante un período determinado de 24 horas se puede modelar con una función sinusoidal. A las 3:00, la temperatura del período alcanza un mínimo de (22 ^ < circ> mathrm). En (15: mathrm), la temperatura del período alcanza un máximo de (40 ^ < circ> F )

12. Encuentre una ecuación que prediga la temperatura basada en el tiempo en minutos. Elija (t = 0 ) para que sea medianoche.

13. Usa la ecuación del n. ° 12 para predecir la temperatura en (4: 00 mathrm).

14. Use la ecuación del # 12 para predecir la temperatura a las 8:00 AM.

15. Usa la ecuación del # 12 para predecir el tiempo (s) que será (32 ^ < circ> mathrm).


5: Funciones trigonométricas

Apuntes de clase

El texto de precálculo 12 de McGraw-Hill Ryerson se utiliza como recurso principal.

Las asignaciones en los planes de lecciones de Powerpoint se refieren a páginas y preguntas en el texto de PreCálculo 12.

5.1 Graficar funciones de seno y coseno

5.1 Amplitud y período de la evaluación formativa

Recursos digitales

5.1 Curvas Sin y Cos 2

Graficar un punto en un círculo

Círculo unitario para representar el seno y el coseno

Cambios pedagógicos: TRANSFORMAR, pasar de lo tradicional a lo centrado en el estudiante

Pasar de estudiante como receptor de conocimiento a estudiante como indagador y creador

Pasar de la memorización al pensamiento de nivel superior

Los gráficos interactivos creados previamente por Desmos para funciones trigonométricas están disponibles en línea. Siga este enlace.

https://www.desmos.com/calculator Haga clic en las barras en la esquina superior izquierda para ver todos los gráficos interactivos creados previamente.

Construyendo una curva sinusoidal y haciendo conexiones con el círculo unitario.

Esta es una buena idea para hacer conexiones entre el círculo unitario y la gráfica de la función seno. Los estudiantes pueden trazar las alturas de la curva para construir medio período de una curva sinusoidal. Las posibles preguntas de seguimiento incluyen "¿Cómo se vería la otra mitad del gráfico?" También se pueden hacer conexiones a características de un gráfico de función seno, como amplitud y período.


5: Funciones trigonométricas

Con esta sección vamos a empezar a ver las derivadas de funciones distintas de los polinomios o raíces de polinomios. Comenzaremos este proceso echando un vistazo a las derivadas de las seis funciones trigonométricas. Se derivarán dos de las derivadas. Los cuatro restantes se los dejan a usted y seguirán pruebas similares para los dos que se dan aquí.

Antes de entrar realmente en las derivadas de las funciones trigonométricas, necesitamos dar un par de límites que aparecerán en la derivación de dos de las derivadas.

Consulte la sección Prueba de límites de activación del capítulo Extras para ver la prueba de estos dos límites.

Antes de continuar, una nota rápida. Los estudiantes a menudo preguntan por qué siempre usamos radianes en una clase de Cálculo. ¡Esta es la razón porque! La prueba de la fórmula que involucra el seno anterior requiere que los ángulos estén en radianes. Si los ángulos están en grados, el límite que involucra el seno no es 1, por lo que las fórmulas que obtendremos a continuación también cambiarían. Las fórmulas siguientes recogerían una constante adicional que se interpondría en nuestro trabajo, por lo que usamos radianes para evitar eso. Por lo tanto, recuerde usar siempre radianes en una clase de Cálculo.

Antes de comenzar a diferenciar las funciones trigonométricas, trabajemos en un conjunto rápido de problemas de límites que este hecho ahora nos permite hacer.

  1. ( Displaystyle mathop < lim> límites_ < theta to 0> frac << sin theta >> << 6 theta >> )
  2. ( Displaystyle mathop < lim> limits_ frac << sin left (<6x> right) >>)
  3. ( Displaystyle mathop < lim> limits_ frac<< sin left (<7x> right) >> )
  4. ( Displaystyle mathop < lim> limits_ frac << sin left (<3t> right) >> << sin left (<8t> right) >> )
  5. ( Displaystyle mathop < lim> limits_ frac << sin left ( derecha) >> <>)
  6. ( Displaystyle mathop < lim> limits_ frac << cos left (<2z> right) - 1 >>)

Realmente no hay mucho en este límite. De hecho, solo está aquí para contrastar con el siguiente ejemplo para que pueda ver la diferencia en cómo funcionan. En este caso, dado que solo hay un 6 en el denominador, simplemente lo factorizaremos y luego usaremos el hecho.

Ahora, en este caso no podemos factorizar el 6 del seno, por lo que estamos atrapados allí y tendremos que encontrar una manera de lidiar con eso. Para resolver este problema, debemos notar que en el hecho de que el argumento del seno es el mismo que el denominador (es decir. ambos ( theta ) 's). Así que necesitamos que tanto el argumento del seno como el denominador sean iguales. Podemos hacer esto multiplicando el numerador y el denominador por 6 de la siguiente manera.

Tenga en cuenta que factorizamos el 6 en el numerador fuera del límite. En este punto, aunque puede que no lo parezca, podemos usar el hecho anterior para terminar el límite.

Para ver que podemos usar el hecho en este límite, hagamos un cambio de variables. Un cambio de variables es en realidad solo un cambio de nombre de partes del problema para hacer que algo se parezca más a algo con lo que sabemos cómo lidiar. No siempre se pueden hacer, pero a veces, como en este caso, pueden simplificar el problema. El cambio de variables aquí es dejar ( theta = 6x ) y luego notar que como (x a 0 ) también tenemos ( theta a 6 left (0 right) = 0 ) . Al hacer un cambio de variables en un límite, necesitamos cambiar todas las (x ) en ( theta ) y eso incluye la que está en el límite.

Hacer el cambio de variables en este límite da,

Y ahí estamos. Tenga en cuenta que en realidad no necesitamos hacer un cambio de variables aquí. Todo lo que realmente necesitamos notar es que el argumento del seno es el mismo que el denominador y luego podemos usar el hecho. En este caso, solo se necesita un cambio de variables para dejar claro que el hecho funciona.

En este caso, parece que tenemos un pequeño problema en el sentido de que la función que estamos tomando el límite aquí está al revés en comparación con la del hecho. Este no es el problema que parece ser una vez que notamos que,

y luego todo lo que tenemos que hacer es recordar una buena propiedad de los límites que nos permita hacer,

Con un poco de reescritura, podemos ver que, de hecho, terminamos necesitando hacer un límite como el que hicimos en la parte anterior. Entonces, hagamos el límite aquí y esta vez no nos molestaremos con un cambio de variable para ayudarnos. Todo lo que tenemos que hacer es multiplicar el numerador y el denominador de la fracción en el denominador por 7 para configurar las cosas para usar el hecho. Aquí está el trabajo para este límite.

Este límite no se parece en nada al límite en el hecho, sin embargo, se puede pensar en una combinación de las dos partes anteriores haciendo una pequeña reescritura. Primero, dividiremos la fracción de la siguiente manera:

Ahora, el hecho quiere a (t ) en el denominador del primero y en el numerador del segundo. Esto es bastante fácil de hacer si multiplicamos todo por (< textstyle> ) (que es solo uno después de todo y, por lo tanto, no cambiará el problema) y luego reorganice un poco de la siguiente manera,

En este punto, podemos ver que estos son realmente dos límites que hemos visto antes. Aquí está el trabajo para cada uno de estos y observe en el segundo límite que lo vamos a trabajar de manera un poco diferente a como lo hicimos en la parte anterior. Esta vez vamos a notar que realmente no importa si el seno está en el numerador o en el denominador, siempre que el argumento del seno sea el mismo que el del numerador, el límite sigue siendo uno.

Aquí está el trabajo para este límite.

Este límite casi parece el mismo en el hecho de que el argumento del seno es el mismo que el del denominador. Sin embargo, observe que, en el límite, (x ) va a 4 y no a 0 como lo requiere el hecho. Sin embargo, con un cambio de variables, podemos ver que este límite está establecido para usar el hecho anterior independientemente.

Entonces, deje ( theta = x - 4 ) y luego observe que como (x a 4 ) tenemos ( theta a 0 ). Por lo tanto, después de hacer el cambio de variable, el límite se convierte en,

Todas las partes anteriores de este ejemplo utilizaron la parte seno del hecho. Sin embargo, podríamos haber usado fácilmente la parte del coseno, así que aquí hay un ejemplo rápido que usa la parte del coseno para ilustrar esto. No daremos mucha explicación aquí, ya que esto realmente funciona de la misma manera que la parte del seno.

Todo lo que se requiere para usar el hecho es que el argumento del coseno es el mismo que el denominador.

Bien, ahora que hemos eliminado este conjunto de ejemplos de límites, regresemos al punto principal de esta sección, diferenciando las funciones de activación.

Empezaremos por encontrar la derivada de la función seno. Para hacer esto, necesitaremos usar la definición de derivada. Ha pasado un tiempo desde que tuvimos que usar esto, pero a veces simplemente no hay nada que podamos hacer al respecto. Aquí está la definición de la derivada de la función seno.

Dado que no podemos simplemente insertar (h = 0 ) para evaluar el límite, necesitaremos usar la siguiente fórmula trigonométrica en el primer seno del numerador.

[ sin left ( right) = sin left (x right) cos left (h right) + cos left (x right) sin left (h right) ]

Como puede ver al usar la fórmula trigonométrica, podemos combinar el primer y tercer término y luego factorizar un seno de eso. Luego, podemos dividir la fracción en dos partes, las cuales se pueden tratar por separado.

Ahora, ambos límites aquí son límites cuando (h ) se acerca a cero. En el primer límite tenemos un ( sin left (x right) ) y en el segundo límite tenemos un ( cos left (x right) ). Ambos son solo funciones de (x ) solamente y cuando (h ) se mueve hacia cero, esto no tiene ningún efecto sobre el valor de (x ). Por lo tanto, en lo que respecta a los límites, estas dos funciones son constantes y se pueden factorizar fuera de sus respectivos límites. Hacer esto da,

En este punto, todo lo que tenemos que hacer es usar los límites del hecho anterior para resolver este problema.

[ frac<> left (< sin left (x right)> right) = sin left (x right) left (0 right) + cos left (x right) left (1 derecha) = cos left (x right) ]

La diferenciación del coseno se realiza de manera similar. Requerirá una fórmula trigonométrica diferente, pero aparte de eso, es una prueba casi idéntica. Los detalles se los dejarán a usted. Cuando termine con la prueba, debería obtener,

Con estos dos fuera del camino, los cuatro restantes son bastante simples de obtener. Las cuatro funciones trigonométricas restantes se pueden definir en términos de seno y coseno y estas definiciones, junto con las reglas de derivadas apropiadas, se pueden usar para obtener sus derivadas.

Echemos un vistazo a la tangente. La tangente se define como,

Ahora que tenemos las derivadas del seno y el coseno, todo lo que necesitamos hacer es usar la regla del cociente en esto. Vamos a hacer eso.

Ahora, recuerda que (< cos ^ 2> left (x right) + < sin ^ 2> left (x right) = 1 ) y si también recordamos la definición de secante en términos de coseno llegamos a,

Las tres funciones trigonométricas restantes también son cocientes que involucran seno y / o coseno y, por lo tanto, se pueden diferenciar de manera similar. Le dejaremos los detalles a usted. Aquí están las derivadas de las seis funciones trigonométricas.

Derivadas de las seis funciones trigonométricas

En este punto deberíamos trabajar algunos ejemplos.

  1. (g left (x right) = 3 sec left (x right) - 10 cot left (x right) )
  2. (h left (w right) = 3> - tan left (w right) )
  3. (y = 5 sin left (x right) cos left (x right) + 4 csc left (x right) )
  4. ( Displaystyle P left (t right) = frac << sin left (t right) >> << 3 - 2 cos left (t right) >> )

Realmente no hay mucho en este problema. Solo diferenciaremos cada término usando las fórmulas anteriores.

En esta parte, necesitaremos usar la regla del producto en el segundo término y tener en cuenta que realmente necesitaremos la regla del producto aquí. No hay otra forma de hacer esta derivada a diferencia de lo que vimos cuando vimos por primera vez la regla del producto. Cuando miramos por primera vez la regla del producto, las únicas funciones que sabíamos diferenciar eran los polinomios y, en esos casos, todo lo que realmente necesitábamos hacer era multiplicarlos y podíamos tomar la derivada sin la regla del producto. Ahora estamos llegando al punto en el que nos veremos obligados a cumplir la regla del producto en ocasiones, independientemente de si queremos o no.

También tendremos que tener cuidado con el signo menos delante del segundo término y asegurarnos de que se trata correctamente. Hay dos formas de lidiar con esto. Una forma de asegurarse de usar un par de paréntesis de la siguiente manera,

Debido a que el segundo término se resta del primer término, la derivada completa del segundo término también debe restarse de la derivada del primer término. Los paréntesis aclaran esta idea.

Una forma potencialmente más fácil de hacer esto es pensar en el signo menos como parte de la primera función del producto. O, en otras palabras, las dos funciones en el producto, usando esta idea, son (- ) y ( tan left (w right) ). Hacer esto da,

[h ' left (w right) = - 12> - 2w tan left (w right) - < sec ^ 2> left (w right) ]

Entonces, independientemente de cómo aborde este problema, obtendrá la misma derivada.

Al igual que en la parte anterior, necesitaremos utilizar la regla del producto en el primer trimestre. También pensaremos en el 5 como parte de la primera función del producto para asegurarnos de que lo manejamos correctamente. Alternativamente, puede hacer uso de un par de paréntesis para asegurarse de que el 5 se trate correctamente. De cualquier manera funcionará, pero nos quedaremos pensando en el 5 como parte del primer término del producto. Aquí está la derivada de esta función.

En esta parte, necesitaremos usar la regla del cociente para obtener la derivada.

Tenga cuidado con los signos al diferenciar el denominador. El signo negativo que obtenemos al diferenciar el coseno se cancelará frente al signo negativo que ya está allí.

Esto parece estar hecho, pero en realidad hay una gran cantidad de simplificación que todavía se puede hacer. Para hacer esto, necesitamos factorizar un “-2” de los dos últimos términos en el numerador y hacer uso del hecho de que (< cos ^ 2> left ( theta right) + < sin ^ 2> left ( theta right) = 1 ).

Como problema final, no olvidemos que todavía tenemos nuestras interpretaciones estándar de las derivadas.

donde (t ) está en años. Durante los primeros 10 años en los que la cuenta está abierta, ¿cuándo aumenta la cantidad de dinero en la cuenta?

Para determinar cuándo aumenta la cantidad de dinero, necesitamos determinar cuándo la tasa de cambio es positiva. Como sabemos que la tasa de cambio viene dada por la derivada, eso es lo primero que necesitamos encontrar.

[P ' left (t right) = - 100 sin left (t right) - 150 cos left (t right) ]

Ahora, necesitamos determinar en qué parte de los primeros 10 años esto será positivo. Esto es equivalente a preguntar dónde en el intervalo ( left [<0,10> right] ) es la derivada positiva. Recuerde que tanto el seno como el coseno son funciones continuas y, por lo tanto, la derivada también es una función continua. El teorema del valor intermedio nos dice entonces que la derivada solo puede cambiar de signo si primero pasa por cero.

Entonces, necesitamos resolver la siguiente ecuación.

[comenzar - 100 sin left (t right) - 150 cos left (t right) & = 0 100 sin left (t right) & = - 150 cos left (t right) frac << sin left (t right) >> << cos left (t right) >> & = - 1.5 tan left (t right) & = - 1.5 fin]

La solución a esta ecuación es,

[comenzart = 2.1588 + 2 pi n, & hspace <0.25in> n = 0, pm 1, pm 2, ldots t = 5.3004 + 2 pi n, & hspace <0.25in> n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

Si no recuerda cómo resolver ecuaciones trigonométricas, retroceda y eche un vistazo a las secciones sobre cómo resolver ecuaciones trigonométricas en el capítulo Repaso.

Solo nos interesan aquellas soluciones que se encuentran en el rango ( left [<0,10> right] ). Al insertar valores de (n ) en las soluciones anteriores, vemos que los valores que necesitamos son,

Entonces, al igual que resolver desigualdades polinomiales, todo lo que necesitamos hacer es dibujar en una recta numérica y sumar estos puntos. Estos puntos dividirán la recta numérica en regiones en las que la derivada siempre debe tener el mismo signo. Todo lo que tenemos que hacer entonces es elegir un punto de prueba de cada región para determinar el signo de la derivada en esa región.

Aquí está la recta numérica con toda la información.

Entonces, parece que la cantidad de dinero en la cuenta bancaria aumentará durante los siguientes intervalos.

[2.1588 & lt t & lt 5.3004 hspace <0.5in> 8.4420 & lt t & lt 10 ]

Tenga en cuenta que no podemos decir nada sobre lo que está sucediendo después de (t = 10 ) ya que no hemos realizado ningún trabajo para (t ) después de ese punto.

En esta sección vimos cómo diferenciar las funciones trigonométricas. También vimos en el último ejemplo que nuestras interpretaciones de la derivada siguen siendo válidas, por lo que no podemos olvidarlas.

Además, es importante que podamos resolver ecuaciones trigonométricas, ya que esto es algo que surgirá de vez en cuando en este curso. También es importante que podamos hacer los tipos de rectas numéricas que usamos en el último ejemplo para determinar dónde una función es positiva y dónde una función es negativa. Esto es algo que haremos en ocasiones tanto en este capítulo como en el siguiente.


Un triángulo rectángulo tiene ángulos agudos A y B. Si y, ¿qué son y?

Desde A y B son los ángulos agudos en un triángulo rectángulo, son ángulos complementarios.

Substituto para B. Utilice la identidad (las cofunciones son iguales). Sustituye el valor dado.

Substituto para A. Las cofunciones de cualquier par de ángulos complementarios son iguales. Sustituye el valor dado.

¿Cuáles son los valores de y?

Incorrecto. Probablemente usaste el ángulo agudo W, y encontrado . Recuerda que obtienes diferentes proporciones para los dos ángulos agudos, así que presta mucha atención al ángulo que estás usando. La respuesta correcta es c.

Incorrecto. Puede que hayas usado el ángulo agudo W y también coseno y cosecante conmutados. Recuerda que obtienes diferentes proporciones para los dos ángulos agudos, así que presta mucha atención al ángulo que estás usando. La respuesta correcta es c.

Correcto. Usando la definición de coseno,. Usando la definición de cosecante,.

Incorrecto. Parece que cambiaste los valores de coseno y cosecante. Los nombres son muy similares, así que tenga cuidado de usar la definición correcta. La respuesta correcta es c.

Relaciones entre las funciones trigonométricas

Las seis relaciones o funciones generalmente se consideran dos grupos de tres funciones. El primer grupo es:

Una forma de recordar estas tres definiciones es con un dispositivo de memoria que usa la primera letra de cada palabra. La definición de seno está representada por sol (sine es igual a oopuesto sobre hypotenusa). Asimismo, la definición de coseno está representada por cahCosine es igual a aadyacente sobre hpotenusa), y la definición de tangente está representada por toatangente es igual a oopuesto sobre aadyacente). Ponerlos juntos te da sohcahtoa.

Si comparas estas tres proporciones con las tres que están por encima de ellas, verás que estas tres fracciones son los recíprocos de las tres fracciones que están por encima de ellas. Es decir, cosecante es el recíproco del seno, secante es el recíproco del coseno y cotangente es el recíproco de la tangente. Escribir esto da tres identidades más:

Si tu recuerdas sohcahtoa más estas tres identidades, puede encontrar los valores de cualquier función trigonométrica, como se ve en el siguiente ejemplo.

Para ángulo agudo A, y . Encuentre los valores de las otras cuatro razones trigonométricas para el ángulo A.

La definición de seno te lo dice. Un triángulo con y tendrá esta razón.

Tú también lo sabes. Se te da, entonces.

Ahora tienes los tres lados del triángulo y puedes usar la definición de tangente.

A continuación, utilice las tres identidades recíprocas para obtener las otras tres proporciones.

El valor de cualquier función trigonométrica es una razón o una fracción. Recuerda que las fracciones se pueden reducir.

Para ángulo agudo A, y . Encuentra los valores de y.

Quieres un triángulo rectángulo donde la razón del lado adyacente al ángulo A sobre la hipotenusa es. Un triángulo con lados y tendría esta razón.

Puedes usar la definición de tangente para encontrar el lado opuesto. Sustituye el valor que te dan por la tangente y luego resuelve la ecuación.

Ahora tienes los tres lados. Usa la definición de seno para encontrar su valor.

Now using the reciprocal identity, the csc can be found by taking the reciprocal of the sin.

Remember that the sides of a right triangle satisfy the Pythagorean Theorem. So if a y B are the lengths of the legs, and C is the hypotenuse, you must have . In the last example, the lengths of the legs were 2 and 3, and the hypotenuse was , and it is true that .

Which of the following could be the values of the trigonometric functions of the same angle?

Incorrect. You can have these values of sine and tangent for the same angle. However, the values of sine and cosecant of the same angle are reciprocals. If , then , not . The correct answer is D.

Incorrect. The values of cosine and secant are reciprocals, as they should be. However, you cannot have the given values of sine and cosine for the same angle. If , you can draw a right triangle with the leg opposite angle X having length 4 and the hypotenuse having length 5. If you have , then the adjacent leg length is 2. However, the lengths 2, 4, and 5 do not satisfy the Pythagorean Theorem. The correct answer is D.

Incorrect. You can draw a right triangle with the side opposite angle Y having length 12, the adjacent side having length 5, and the hypotenuse having length 13. This will give you . Using the definition of tangent, , you would then have , not . The correct answer is D.

Correct. If , then , because they are reciprocals. You can draw a right triangle with both legs having length 1, and the hypotenuse will have length because of the Pythagorean Theorem. Using the definition of cosine, , you will then have .

Using a Calculator to Find the Values of Trigonometric Functions

You know that if you draw similar triangles with angle measures 35°, 55°, and 90°, the ratio of the side opposite 35° to the hypotenuse will be the same for all those triangles. This is . The easiest way to find what this ratio actually equals is with a scientific or graphing calculator.

Looking at a calculator, you will find a key that says SIN on it. You can use this to find the value of . Keep this in mind: you need to know that there are different units for measuring angles. For our purposes, make sure that your calculator is set in the “degree mode.” (The following instructions are generalized, but you may need to refer to your calculator’s instruction manual for how to perform these calculations on your particular calculator.)

If you use a scientific calculator, look in the display and see if it says DEG in small letters above the 0 (as opposed to RAD or GRAD). If it does not, press the DRG key until the display says DEG. Now enter 35, and then press the SIN key. The result is :

If you have a graphing calculator, press the MODE key. The third line of the display will say RADIAN DEGREE. Use the arrows to select DEGREE, then press ENTER, 2ND, QUIT. Now the calculator is in degree mode. On a graphing calculator, you enter things the same way as you would write them. So press the keys to give you sin(35) on the display and then press ENTER. You should now see the value on the next line of the display.

Because sine is a function, given an angle measure X (the input), your calculator will give you the value of (the output). All the right triangles with acute angle measure X will be similar, so the ratio of the opposite side to the hypotenuse will be the same for all of those triangles. Therefore, the ratio depends only on the value of X it does not depend on the triangle.

Likewise, the other five trigonometric ratios are functions. You can use your calculator to find the value of those functions. You will notice that next to the SIN key there are COS and TAN keys, which can be used to find the values of cosine and tangent.

Use your calculator to find the values of and to the nearest thousandth.

On a scientific calculator, enter 35, then press COS. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Remember to look at the ten thousandths place to help you round to the nearest thousandth.

Use the same procedure for tangent.

You may have noticed that your calculator has no keys for csc, sec, or cot. You can still use it to find the values of these functions. You can do this by using the calculator in combination with the reciprocal identities. You must first find the value of sin, cos, or tan, and then find the reciprocal, as this next example shows.

Use your calculator to find the values of and to the nearest thousandth.

First use your calculator to find the value of . Do not round this value until you are writing the final answer.

Press the key that says or . This will give you the value of cosecant.

Now round your final answer to the nearest thousandth.

Find the value of . Then find the reciprocal and round off.

Find the value of . Then find the reciprocal and round off.

What is the value of to the nearest thousandth?

Correct. First use the calculator to find . Find the reciprocal of this: .

Incorrect. You found the value of . Remember that cosecant is the reciprocal of sine (not cosine). The correct answer is 3.420.

Incorrect. You found the value of . You must first find , luego find the reciprocal. The correct answer is 3.420.

Incorrect. Your calculator was not set to degrees. Before doing any calculations, make sure that you first have it set on degrees. The correct answer is 3.420.

Using a Calculator to Find Angle Measures

So far you have learned the definitions of the six trigonometric functions. Remember that a function has an input and an output. For each of these functions, the input is the angle measure and the output equals a certain ratio of sides. Your calculator can be used to find the values of these functions. For example, if the angle measures 60°, the cosine of the angle is 0.5. This can be represented as .

Now what if the situation were reversed? What if you knew the value of the ratio and wanted to know the angle that produced it? That is, what if you knew the output of a trigonometric function, and wanted to know the input? For example, you might know that the cosine of some angle is 0.5 and want to find out what the angle is. You can use your calculator to find these values, too.

In general, when you reverse the input and the output of a function, what you get is called an inverse function. Your calculator can find the inverses of sine, cosine, and tangent. In the example above, on a scientific calculator you would enter 0.5, press the 2ND key, then press COS. The display would show 60. (Make sure that your calculator is set on degrees!) This tells you that the angle is 60°. On a graphing calculator, you would press 2ND, then COS, then 0.5, and finally ENTER. (Keep in mind that you may need to refer to your calculator’s instruction manual for how to perform these calculations on your particular calculator.)

Above the SIN, COS, and TAN keys you will see . These are the inverse trigonometric functions, and the way to read them out loud is: arcsine, arccosine, y arctangent. The result mentioned above can be written as or .

If you were given the value of the sine (or tangent) function and wanted to know what angle produced it, you would follow a procedure similar to that described above. So on a scientific calculator, you would enter the value, press the 2ND key, then press SIN (or TAN).

Use your calculator to find the angle, to the nearest degree, whose tangent value is 0.75.

On a scientific calculator, enter 0.75, then press the 2ND key and TAN. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Look at the tenths place to help you round to the nearest degree.

If you are given the expression , for example, you can interpret this as saying, “Find the angle whose cosine equals 0.24.”

Determine to the nearest tenth of a degree.

On a scientific calculator, enter 0.24, then press the 2ND key and COS. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Look at the hundredths place to help you round to the nearest tenth.

Here is a real-world example using an inverse function.

A skateboard ramp is 7 feet long with one end on the ground and the other end 2 feet above the ground. What is the angle of elevation to the nearest tenth of a degree?

The angle of elevation is angle A. Because you know the opposite side and the hypotenuse, you can use the sine function.

Use the definition of sine. The unknown is the input.

You can rewrite this equation using arcsine. You need to reverse the input and the output.

On a scientific calculator, divide 2 by 7, then press the 2ND key and SIN. Do this in the reverse order for a graphing calculator.

Remember that the sine or cosine function cannot have an output greater than 1. With arcsine and arccosine, you are reversing inputs and outputs. Consequently, the input of these functions cannot be a number bigger than 1. If you try to compute with your calculator, for example, you will get an error message.

If , what is X to the nearest hundredth of a degree?

Incorrect. Instead of finding , you found . The correct answer is 19.47°.

Incorrect. You did not have your calculator set on degrees. Before doing any calculations, make sure that you first have it set on degrees. The correct answer is 19.47°.

Correct. The solution to the equation is given by computing .

Incorrect. Instead of finding , you found . The correct answer is 19.47°.

The six trigonometric functions are defined as ratios of sides in a right triangle. Their values depend only on the angle and not on any particular right triangle. A good way to remember the definitions of sine, cosine, and tangent is with the memory device sohcahtoa. The other three functions—cosecant, secant, and cotangent—are reciprocals of the first three.

You can use a calculator to find the values of these functions or ratios. You can also use a calculator to find the values of the inverse trigonometric functions. That is, given the ratio, you can find the angle that produced it.


RD Sharma Class 11 Solutions Chapter 5 Trigonometric Functions PDF Download

RD Sharma Class 11 Maths Solutions Chapter 5 Trigonometric Functions are been solved by expert teachers of NCERTBooks.Guru. RD Sharma Class 11 Solutions Plays important role in getting good score in Maths for all Engineering and other Entrance Examinations. You can Download RD Sharma Class 11 Maths Chapter 5 Trigonometric Functions PDF from the below given Link to access in offline mode.

Now that you are provided all the necessary information regarding Class 11 Trigonometric Functions RD Sharma Solutions and we hope this detailed RD Sharma Solutions for Class 11 are helpful. Students can also check out NCERT Solutions, NCERT Books, HC Verma Solutions and JEE Study Material for free.


Unit circle radians

If you have your number line marked with radians, this is how it would look:

First, you have a usual unit circle. In one quarter of a circle is $frac<2>$, in one half is $pi$, in three quarters is $frac<3 pi><2>$, and one whole is $2 pi$.

Now what when you start another lap?

You’re again in zero, but now with 2π of the line around the circle. If you add another $frac<2>$ that will lead you into the point where the ‘old’ $frac<2>$ is, but now that value will be $2 pi + frac <2>= frac<5 pi><2>$. If you continue and add another $frac<2>$ you’ll find yourself in a point where the ‘old’ π lies. Now that point will be $frac<5 pi> <2>+ frac <2>= 3 pi$. And you continue like that.

In degrees you can conclude that $frac <2>= 90^$, $pi = 180^$, $frac<3 pi> <2>= 270^$, $ 2 pi = 360^$, $frac<5 pi> <2>= 450^$ and so on.

By dividing radians into smaller and smaller parts we can determine measure of every angle.

Angles that are mostly used are 0, $frac<6>$, $frac<3>$, $frac<2>$ and so on.

Can you see a pattern here? If you only observe first and second quadrant you’ll notice that lines that are perpendicular on y-axis that go through $frac<3>$ and $frac<2 pi><3>$ cut off equal parts of y-axis. The same applies with $frac<3 pi><4>$ and $frac<4>$, and also with $frac<5 pi><6>$ and $frac<6>$.

If you take a look at first and fourth quadrant you’ll notice that lines that are perpendicular of x-axis $frac<6>$ and $frac<11 pi><6>$ cut off equal length of x – axis, and so on with other angles. This can help you in drawing them. For example, if you get a task to draw $frac<5 pi><6>$, you can simply draw $frac<6>$ and translate it to second quadrant. Using this way you’ll only need to remember angles in first quadrant and translate them.

Ejemplo 1: Find following angles on the unit circle

When you have a fraction whose value is greater than two, that means that you’re starting another “lap” around the circle. When you are dealing with these kinds of values, you have to apply a process of finding the right measure of an angle. That means that you have to find an angle that suits given angle but in your first lap. You do that by subtracting with a multiple of 2π.

For example, let’s say you have $frac<5 pi><2>$. $frac<5 pi><2>$ is greater than $2 pi$ by $frac<2>$. That means that you’ll finish first lap and end up in $frac<2>$.

Example 2: Find following angles on the unit circle

Since we have a minus in front of our values, we start looking from zero but in an opposite way. Whole circle is equal to $2 pi$, which means that $ -frac<4>$ will have the same value as $ 2 pi – frac <4>= frac<7 pi><4>$, $- pi$ as $ pi$, and $ -2 pi$ as 0.


Computing Trigonometric Functions

This is a completely optional page. It is not necessary to know how to compute the trig functions and their inverses in order to use them. Nonetheless, many people are interested in how values of these functions were computed before and after the invention of calculators and computers. If you&rsquore interested, then read on. Otherwise, go on to the next section on oblique triangles.

Before computers: tables

Rather than repeating what he did for chords, let&rsquos look at how to create tables for sines and cosines using his methods. First, based on the Pythagorean theorem and similar triangles, the sines and cosines of certain angles can be computed directly. In particular, you can directly find the sines and cosines for the angles 30°, 45°, and 60° as described in the section on cosines. Ptolemy knew two other angles that could be constructed, namely 36° and 72°. These angles were constructed by Euclid in Proposition IV.10 of his Elements. Like Ptolemy, we can use that construction to compute the trig functions for those angles. At this point we could compute the trig functions for the angles 30°, 36°, 45°, 60°, and 72°, and, of course we know the values for 0° and 90°, too.

Keep in mind that if you know the sine of an angle y theta, then you know the cosine of the complementary angle 90° &ndash y theta likewise, if you know then cosine of an angle y theta then you know the sine of the complementary angle 90° &ndash y theta:

So you have the trig functions for 18° and 54°, too.

Next, you can use the half-angle formulas for sines and cosines to compute the values for half of an angle if you know the values for the angle. Si y theta is an angle between 0° and 180°, then

Using these, from the values for 18°, 30°, and 54°, you can find the values for 27°, 15°, and 9°, and, therefore, their complements 63°, 75°, and 81°.

With the help of the sum and difference formulas

you can find the sine and cosine for 3° (from 30° and 27°) and then fill in the tables for sine and cosine for angles from 0° though 90° in increments of 3°.

Again, using half-angle formulas, you could produce a table with increments of 1.5° (that is, 1° 30'), then 0.75° (which is 45'), or even of 0.375° (which is 22' 30"). But how do you get a table with 1° increments? Ptolemy recognized that there was no Euclidean construction to trisect an angle of 3° to get an angle of 1°, but since the sine function is almost linear for small angles, you could approximate sin 1° just by interpolating a third of the way beteen the values of sin 0.75° and sin 1.5°. With that step, we can construct trig tables for trig functions with increments of 1°.

Better trig tables have been created throughout the centuries. For instance, Ulugh Beg (15th century) constructed sine and tangent tables for every minute of arc to about nine digits of accuracy!

Incidentally, if you have a table of sines, you can read it in reverse to compute arcsine, so only one table is needed for both.

After computers: power series

In the late 17th century, Newton and other mathematicians developed power series. A power series is like a polynomial of unbounded degree. For the various trig functions, these mathematicians found power series. Here are the power series for sine and cosine (where X is an angle measured in radians):

The three dots . mean that the expression is to go on forever, adding another term, then subtracting a term, etc. The exclamation point ! is to be read &ldquofactorial&rdquo, and it means you multiply together the whole numbers from 1 up through the given number. For example, 5!, &ldquofive factorial&rdquo, equals 1 times 2 times 3 times 4 times 5, which is 120, and so, 6! = 720.

These power series have infinitely many terms, but they get small so very fast that only the first few terms contribute much.

    0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 — 0.78539816 7 /7! +.
    0.78539816 = 0.78539816
    0.70465265 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3!
    0.70714304 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 /5!
    0.70710647 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 /5! — 0.78539816 7 /7!
    0.70710678 = 0.78539816 — 0.78539816 3 /3! + 0.78539816 5 /5! — 0.78539816 7 /7! + 0.78539816 9 /9!

A little bit of analysis is needed to determine how many terms of the power series are needed to achieve the desired accuracy. Also, certain other tricks can be used to speed up the computations. In any case, the essential idea is to use the first few terms of a power series to compute trig functions.

The power series for the rest of the trig functions and the power series for the inverse trig functions can be found in most books on calculus that discuss power series.


Ver el vídeo: ADD MATHS. Form 5 Chapter 5: Trigonometric Functions Solve Questions FULL - Live Class (Diciembre 2021).