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3.2: Integrales dobles sobre una región general


En la sección anterior nos hicimos una idea de lo que representa una integral doble sobre un rectángulo. Ahora podemos definir la integral doble de una función de valor real (f (x, y) ) sobre regiones más generales en ( mathbb {R} ^ 2 ).

Suponga que tenemos una región (R ) en el plano (xy ) - que está delimitada a la izquierda por la línea vertical (x = a ), delimitada a la derecha por la línea vertical (x = b ) (donde (a

Luego, usando el método de corte de la sección anterior, la integral doble de una función de valor real (f (x, y) ) sobre la región (R ), denotada por ( iint limits_R f (x, y) d A ), viene dado por

[ iint limits_R f (x, y) d A = int_a ^ b left [ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f (x, y) dy right] dx label {Eq3.4} ]

Esto significa que tomamos cortes verticales en la región (R ) entre las curvas (y = g_1 (x) text {y} y = g_2 (x) ). El símbolo (d A ) a veces se llama elemento de área o infinitesimal, con el área que significa (A ). Tenga en cuenta que (f (x, y) ) se integra primero con respecto a (y ), con funciones de (x ) como límites de integración. Esto tiene sentido ya que el resultado de la primera integral iterada tendrá que ser una función de (x ) solo, lo que luego nos permite tomar la segunda integral iterada con respecto a (x ).

De manera similar, si tenemos una región (R ) en el plano (xy ) - que está limitada a la izquierda por una curva (x = h_1 (y) ), limitada a la derecha por una curva ( x = h_2 (y) ), delimitado abajo por la línea horizontal (y = c ), y delimitado arriba por la línea horizontal (y = d ) (donde (c

[ iint limits_R f (x, y) d A = int_c ^ d left [ int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f (x, y) dx right] dy label {Eq3.5} ]

Observe que estas definiciones incluyen el caso cuando la región (R ) es un rectángulo. Además, si (f (x, y) ge 0 ) para todo ((x, y) ) en la región (R ), entonces ( iint limits_R f (x, y) d A ) es el volumen debajo de la superficie (z = f (x, y) text {sobre la región} R ).

Ejemplo 3.4

Encuentra el volumen (V ) debajo del plano (z = 8x + 6y ) sobre la región (R = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2x ^ 2} ) .

La región (R ) se muestra en la Figura 3.2.2. Usando cortes verticales obtenemos:

[ nonumber begin {align} V & = iint limits_R (8x + 6y) d A [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 left [ int_0 ^ {2x ^ 2} (8x + 6y) dy right] dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 left (8x y + 3y ^ 2 big | _ {y = 0} ^ {y = 2x ^ 2} right) dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 1 (16x ^ 3 + 12x ^ 4) dx [4pt] nonumber & = 4x ^ 4 + dfrac {12} {5} x ^ 5 Big | _0 ^ 1 = 4 + dfrac {12} {5} = dfrac {32} {5} = 6.4 end {align} ]

Obtenemos la misma respuesta usando cortes horizontales (ver Figura 3.2.3):

[ nonumber begin {align} V & = iint limits_R (8x + 6y) d A [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left [ int _ { sqrt {y / 2}} ^ {1} (8x + 6y) dx right] dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left (4x ^ 2 + 6x y big | _ {x = sqrt {y / 2} } ^ {x = 1} right) dy [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 (4 + 6y - (2y + dfrac {6} { sqrt {2}} y sqrt {y} )) dy = int_0 ^ 2 (4 + 4y-3 sqrt {2} y ^ {3/2}) dy [4pt] nonumber & = 4y + 2y ^ 2 - dfrac {6 sqrt { 2}} {5} y ^ {5/2} big | _0 ^ 2 = 8 + 8- dfrac {6 sqrt {2} sqrt {32}} {5} = 16- dfrac {48} {5} = dfrac {32} {5} = 6.4 end {align} ]

Ejemplo 3.5

Encuentra el volumen (V ) del sólido delimitado por los tres planos de coordenadas y el plano (2x + y + 4z = 4 ).

Solución

El sólido se muestra en la Figura 3.2.4 (a) con un corte vertical típico. El volumen (V ) viene dado por ( iint limits_R f (x, y) d A ), donde (f (x, y) = z = dfrac {1} {4} (4− 2x - y) ) y la región (R ), que se muestra en la figura 3.2.4 (b), es (R = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ −2x + 4} ). El uso de cortes verticales en (R ) da

[ nonumber begin {align} V & = iint limits_R dfrac {1} {4} (4−2x− y) d A [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left [ int_0 ^ {- 2x + 4} dfrac {1} {4} (4−2x− y) dy right] dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 left (- dfrac {1} {8} (4−2x− y) ^ 2 big | _ {y = 0} ^ {y = -2x + 4} right) dx [4pt] nonumber & = int_0 ^ 2 dfrac { 1} {8} (4-2x) ^ 2 dx [4pt] nonumber & = - dfrac {1} {48} (4-2x) ^ 3 big | _0 ^ 2 = dfrac {64} {48} = dfrac {4} {3} end {align} ]

Para una región general (R ), que puede no ser uno de los tipos de regiones que hemos considerado hasta ahora, la integral doble ( iint limits_R f (x, y) d A ) se define de la siguiente manera. Suponga que (f (x, y) ) es una función de valor real no negativa y que (R ) es una región acotada en ( mathbb {R} ^ 2 ), por lo que puede encerrarse en algunos rectángulo ([a, b] times [c, d] ). Luego divide ese rectángulo en una cuadrícula de subrectángulos. Considere únicamente los subrectangulos que están encerrados completamente dentro de la región (R ), como lo muestran los subrectangulos sombreados en la Figura 3.2.5 (a). En cualquier subrectangulo ([x_i, x_ {i + 1}] times [y_j, y_ {j + 1}] ), elija un punto ((x_ {i ∗}, y_ {j ∗}) ). Entonces el volumen debajo de la superficie (z = f (x, y) ) sobre ese subrectángulo es aproximadamente (f (x_ {i ∗}, y_ {j ∗}) Delta x_i Delta y_j ), donde ( Delta x_i = x_ {i + 1} - x_i, Delta y_j = y_ {j + 1} - y_j, text {y} f (x_ {i ∗}, y_ {j ∗}) ) es el altura y ( Delta x_i Delta y_j ) es el área de la base de un paralelepípedo, como se muestra en la Figura 3.2.5 (b). Entonces, el volumen total debajo de la superficie es aproximadamente la suma de los volúmenes de todos esos paralelepípedos, a saber

[ sum limits_j sum limits_i f (x_ {i ∗}, y_ {j ∗}) Delta x_i Delta y_j label {Eq3.6} ]

donde la suma ocurre sobre los índices de los subrectangulos dentro de (R ). Si tomamos subrectangulos cada vez más pequeños, de modo que la longitud de la diagonal más grande de los subrectangulos va a 0, entonces los subrectangulos comienzan a llenar cada vez más la región (R ), por lo que la suma anterior se acerca al volumen real debajo de la superficie (z = f (x, y) ) sobre la región (R ). Nosotros entonces definir ( iint limits_R f (x, y) d A ) como el límite de esa doble suma (el límite se toma sobre todas las subdivisiones del rectángulo ([a, b] times [c, d] ) ya que la mayor diagonal de los subrectangulos va a 0).

Se puede hacer una definición similar para una función (f (x, y) ) que no siempre es necesariamente no negativa: simplemente reemplace cada mención de volumen por el volumen negativo en la descripción anterior cuando (f (x, y) < 0 ). En el caso de una región del tipo que se muestra en la figura 3.2.1, utilizando la definición de la integral de Riemann del cálculo de una sola variable, nuestra definición de ( iint limits_R f (x, y) d A ) se reduce a una secuencia de dos integrales iteradas.

Finalmente, la región (R ) no tiene que estar acotada. Podemos evaluar incorrecto integrales dobles (es decir, sobre una región ilimitada, o sobre una región que contiene puntos donde la función (f (x, y) ) no está definida) como una secuencia de integrales de una sola variable impropias iteradas.

Ejemplo 3.6

Evalúe ( int_1 ^ { infty} int_0 ^ {1 / x ^ 2} 2y d y , dx )

Solución

[ nonumber begin {align} int_1 ^ { infty} int_0 ^ {1 / x ^ 2} 2ydy , dx & = int_1 ^ { infty} left (y ^ 2 Big | _ { y = 0} ^ {y = 1 / x ^ 2} right) dx [4pt] nonumber & = int_1 ^ { infty} x ^ {- 4} dx = - dfrac {1} {3 } x ^ {- 3} Big | _1 ^ { infty} = 0 - (- dfrac {1} {3}) = dfrac {1} {3} end {align} ]


3.2: Integrales dobles sobre una región general

Definimos la integral triple en términos del límite de una suma de Riemann triple, como hicimos para la integral doble en términos de una suma de Riemann doble.

La integral triple de una función f (x, y, z) f (x, y, z) sobre una caja rectangular B B se define como

Ahora que hemos desarrollado el concepto de integral triple, necesitamos saber cómo calcularlo. Al igual que en el caso de la integral doble, podemos tener una integral triple iterada y, en consecuencia, existe una versión de Fubini para integrales triples.

Esta integral también es igual a cualquiera de los otros cinco posibles ordenamientos para la integral triple iterada.

Para una caja rectangular, el orden de integración no hace ninguna diferencia significativa en el nivel de dificultad en el cálculo. Calculamos integrales triples usando el teorema de Fubini & # 8217s en lugar de usar la definición de suma de Riemann. Seguimos el orden de integración de la misma manera que lo hicimos para las integrales dobles (es decir, de adentro hacia afuera).

Evalúe la integral triple & # 8747 z = 0 z = 1 & # 8747 y = 2 y = 4 & # 8747 x = & # 87221 x = 5 (x + y z 2) d x d y d z. & # 8747 z = 0 z = 1 & # 8747 y = 2 y = 4 & # 8747 x = & # 87221 x = 5 (x + y z 2) re x d y re z.

El orden de integración se especifica en el problema, así que integre primero con respecto ax x, luego yy luego z. z.

Evaluar una integral triple sobre una caja rectangular dada.

El orden no está especificado, pero podemos usar la integral iterada en cualquier orden sin cambiar el nivel de dificultad. Elija, digamos, integrar y primero luego X, y luego z.

Ahora intente integrar en un orden diferente solo para ver que obtenemos la misma respuesta. Elija integrar con respecto a x x primero, luego z, zy luego y. y.

Siga los pasos del ejemplo anterior.

Integrales triples sobre una región limitada general

La integral triple de una función continua f (x, y, z) f (x, y, z) sobre una región tridimensional general

Entonces la integral triple se convierte en

Entonces la integral triple se convierte en

Podemos describir el tetraedro de la región sólida como

Por tanto, la integral triple es

Para simplificar el cálculo, primero evalúe la integral & # 8747 z = 0 z = 1 & # 8722 x & # 8722 y (5 x & # 8722 3 y) d z. & # 8747 z = 0 z = 1 & # 8722 x & # 8722 y (5 x & # 8722 3 y) d z. Tenemos

Poniéndolo todo junto, tenemos

Hallar el volumen de una pirámide de base cuadrada.

Por tanto, el volumen de la pirámide es 4 3 4 3 unidades cúbicas.

Siga los pasos del ejemplo anterior. Usa la simetría.

Cambiar el orden de integración

Como ya hemos visto en integrales dobles sobre regiones limitadas generales, el cambio del orden de la integración se realiza con bastante frecuencia para simplificar el cálculo. Con una integral triple sobre una caja rectangular, el orden de integración no cambia el nivel de dificultad del cálculo. Sin embargo, con una integral triple sobre una región limitada general, elegir un orden de integración apropiado puede simplificar bastante el cálculo. A veces, hacer el cambio a coordenadas polares también puede ser muy útil. Demostramos dos ejemplos aquí.

Considere la integral iterada

El orden de integración aquí es primero con respecto a z, luego y, y luego X. Exprese esta integral cambiando el orden de integración para que sea el primero con respecto a X, luego z, y luego y. y. Verifica que el valor de la integral sea el mismo si dejamos f (x, y, z) = x y z. f (x, y, z) = x y z.

Necesitamos expresar esta integral triple como

Las tres secciones transversales de E E en los tres planos de coordenadas.

Escribe cinco integrales iteradas diferentes iguales a la integral dada

Integrando una integral triple sobre un paraboloide.

Sección transversal en el plano x y x y del paraboloide en [link].

La integral triple se convierte en

Valor medio de una función de tres variables

Recuerde que encontramos el valor promedio de una función de dos variables evaluando la integral doble sobre una región en el plano y luego dividiendo por el área de la región. De manera similar, podemos encontrar el valor promedio de una función en tres variables evaluando la integral triple sobre una región sólida y luego dividiendo por el volumen del sólido.

Tenga en cuenta que el volumen es V (E) = & # 8749 E 1 d V. V (E) = & # 8749 E 1 d V.

Usa el teorema dado arriba y la integral triple para encontrar el numerador y el denominador. Luego haz la división. Observe que el plano x + y + z = 1 x + y + z = 1 tiene intersecciones (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0 ) y (0, 0, 1). (0, 0, 1). La región E E parece

Por tanto, la integral triple de la temperatura es

Por lo tanto, el valor promedio es T ave = 147/40 1/6 = 6 (147) 40 = 441 20 T ave = 147/40 1/6 = 6 (147) 40 = 441 20 grados Celsius.


Este es un paquete C simple para integración multidimensional adaptativa (cubicación) de integrandos con valores vectoriales sobre hipercubos, escrito por Steven G. Johnson. Es decir, calcula integrales de la forma:

(Por supuesto, puede manejar integrandos escalares como el caso especial donde f es un vector unidimensional: las dimensionalidades de f y x son independientes). El integrando se puede evaluar para un matriz de puntos a la vez para permitir fácil paralelización. El código, que se distribuye como software libre bajo los términos de la Licencia Pública General GNU (v2 o posterior), implementa dos algoritmos para la integración adaptativa.

El primero, h-integración adaptativa (partición recursiva del dominio de integración en subdominios más pequeños, aplicando la misma regla de integración a cada uno, hasta que se logre la convergencia), se basa en los algoritmos descritos en:

  • A. C. Genz y A. A. Malik, "Un algoritmo adaptativo para la integración numérica sobre una región rectangular N-dimensional", J. Comput. Apl. Matemáticas.6 (4), 295–302 (1980).
  • J. Berntsen, T. O. Espelid y A. Genz, "Un algoritmo adaptativo para el cálculo aproximado de múltiples integrales", ACM Trans. Matemáticas. Suave.17 (4), 437–451 (1991).

Este algoritmo es más adecuado para un número moderado de dimensiones (digamos, & lt 7), y se reemplaza para integrales de alta dimensión por otros métodos (por ejemplo, variantes de Monte Carlo o cuadrículas dispersas).

(Tenga en cuenta que lo hacemos no use cualquiera del código DCUHRE original de Genz, que no está bajo una licencia libre / de código abierto.) Nuestro código se basa en parte en el código prestado de la biblioteca de integración numérica HIntLib de Rudolf Schürer y del código para la cuadratura Gauss-Kronrod (para integrales 1d) de la GNU Scientific Library, ambos son software libre bajo la GNU GPL. (Otra biblioteca de integración multidimensional de software libre, que no está relacionada con nuestro código aquí, pero que también implementa el algoritmo Genz-Malik entre otras técnicas, es Cuba).

El segundo, pag-integración adaptativa (duplicando repetidamente el grado de las reglas de cuadratura hasta que se logra la convergencia), se basa en un producto tensorial de las reglas de cuadratura de Clenshaw-Curtis. Este algoritmo suele ser superior a h-integración adaptable para integrandos suaves en unas pocas (≤ 3) dimensiones, pero es una mala elección en dimensiones más altas o para integrandos no suaves.

En su mayor parte, el pag-Las rutinas de adaptación a continuación son reemplazos directos para el h-Rutinas adaptativas, con los mismos argumentos, etcétera, para que pueda experimentar y ver cuál funciona mejor para su problema. Una diferencia: el h-las rutinas adaptativas hacen no evaluar el integrando en los límites del volumen de integración, mientras que el pag-rutinas adaptativas hacer evaluar el integrando en los límites. Esto significa que el pag Las rutinas adaptativas requieren más cuidado en los casos en que existen singularidades en los límites.

También estoy agradecido a Dmitry Turbiner (dturbiner ατ alum.mit.edu), quien implementó un prototipo inicial de la funcionalidad "vectorizada" (ver más abajo) para evaluar una serie de puntos en una sola llamada, lo que facilita la paralelización de la evaluación integrando .

La versión actual del código se puede descargar desde el repositorio de github, y la última versión "oficial" se puede obtener en:

De cualquier manera, obtiene un directorio que contiene archivos hcubature.cy pcubature.c independientes (junto con un par de archivos de encabezado privados) que puede compilar y vincular en su programa para la integración h-adaptive y p-adaptive, respectivamente, y un archivo de encabezado cubature.h que #incluya, como se describe a continuación.

El archivo test.c contiene un pequeño programa de prueba que se genera si compila ese archivo con -DHCUBATURE o -DPCUBATURE y lo vincula con hcubature.c o pcubature.c, respectivamente, como se describe a continuación.

B. Narasimhan escribió una interfaz GNU R, que se puede descargar aquí: http://cran.r-project.org/web/packages/cubature/index.html. Jonathan Schilling transfirió el código a Java: https://github.com/jonathanschilling/Cubature

Se puede obtener una interfaz de Julia en Cubature.jl. También está disponible una interfaz Python cubature.py escrita por Saullo Castro.

Debe compilar hcubature.cy / o pcubature.cy vincularlo con su programa, e #incluir el archivo de encabezado cubature.h.

La subrutina central a la que llamará para cubicación adaptativa h es:

o pcubature (los mismos argumentos) para cubatura p-adaptativa. (Consulte también la interfaz vectorizada a continuación).

Esto integra una función F (x), que devuelve un vector de integrandos FDIM, donde x es un vector DIM dimensional que va desde XMIN a XMAX (es decir, en un hipercubo XMINᵢ ≤ xᵢ ≤ XMAXᵢ).

MAXEVAL especifica un número máximo de evaluaciones de funciones (0 para sin límite). (Nota: el número real de evaluaciones puede exceder un poco MAXEVAL: MAXEVAL se redondea a un número entero de evaluaciones de subregión). De lo contrario, la integración se detiene cuando el | error | estimado | es menor que REQABSERROR (el error absoluto solicitado) o cuando el | error estimado | es menor que REQRELERROR × | valor integral | (el error relativo solicitado). (Cualquiera de las tolerancias de error se puede establecer en cero para ignorar eso.)

Para integrandos con valores vectoriales (FDIM & gt 1), NORM especifica la norma que se utiliza para medir el error y determinar las propiedades de convergencia. (El argumento NORM es irrelevante para FDIM ≤ 1 y se ignora). Vectores dados v y mi de integrales estimadas y errores en las mismas, respectivamente, el argumento NORM toma uno de los siguientes valores constantes enumerados:

ERROR_L1, ERROR_L2, ERROR_LINF: el error absoluto se mide como | e | y el error relativo como | e | / | v |, donde |. | es la norma L₁, L₂ o L∞, respectivamente. (| x | en la norma L₁ es la suma de los valores absolutos de los componentes, en la norma L₂ es el cuadrado medio de los componentes y en la norma L∞ es el valor absoluto máximo de los componentes)

ERROR_INDIVIDUAL: La convergencia se logra solo cuando cada integrando (cada componente de vye) satisface individualmente las tolerancias de error solicitadas.

ERROR_PAIRED: Como ERROR_INDIVIDUAL, excepto que los integrandos se agrupan en pares consecutivos, con la tolerancia de error aplicada en un sentido L₂ a cada par. Esta opción es principalmente útil para integrar vectores de números complejos, donde cada par consecutivo de integrandos reales son las partes real e imaginaria de un solo integrando complejo, y solo le importa el error en el plano complejo en lugar del error en el real y partes imaginarias por separado.

VAL y ERR son matrices de longitud FDIM, que al regresar son los valores integrales calculados y los errores estimados, respectivamente. (Los errores estimados se basan en una regla de cubicación incorporada de orden inferior para funciones suaves, esta estimación suele ser conservadora)

El valor de retorno de hcubature y pcubature es 0 en caso de éxito y distinto de cero si hubo un error (principalmente solo situaciones de falta de memoria o si el integrando indica un error). Para un valor de retorno distinto de cero, el contenido de las matrices VAL y ERR no está definido.

La función integrando F debería ser una función de la forma:

Aquí, la entrada es una matriz X de longitud NDIM (el punto a evaluar), la salida es una matriz FVAL de longitud FDIM (el vector de valores de función en el punto X). El valor devuelto debe ser 0 en caso de éxito o un valor distinto de cero si se produjo un error y la integración debe terminarse inmediatamente (hcubature devolverá un código de error distinto de cero).

El argumento FDATA de F es igual al argumento FDATA pasado a hcubature; la persona que llama puede utilizarlo para pasar cualquier información adicional a F según sea necesario (en lugar de utilizar variables globales, que no son reentrantes). Si F no necesita datos adicionales, simplemente puede pasar FDATA = NULL e ignorar el argumento FDATA a F.

Estos algoritmos de integración en realidad evalúan el integrando en "lotes" de varios puntos a la vez. A menudo es útil tener acceso a esta información para que su función integrando no se llame para un punto a la vez, sino más bien para un "vector" completo de muchos puntos a la vez. Por ejemplo, es posible que desee evaluar el integrando en paralelo en diferentes puntos. Esta funcionalidad está disponible llamando a:

(y de manera similar para pcubature_v). Todos los argumentos y el valor de retorno son idénticos a hcubature, arriba, excepto que ahora el integrando F es de tipo integrand_v, correspondiente a una función de una forma diferente. La función integrando F ahora debería ser una función de la forma:

Ahora, X no es un solo punto, sino una matriz de puntos NPTS (longitud NPTS × NDIM), y al devolver los valores de todos los integrandos FDIM en todos los puntos NPTS deben almacenarse en FVAL (longitud NPTS × FDIM). En particular, x [i * ndim + j] es la j-ésima coordenada del i-ésimo punto (i & ltnpts y j & ltndim), y la evaluación de la función k-ésima (k & ltfdim) para el i-ésimo punto se devuelve en fval [ i * fdim + k]. (Nota: la indexación de fval cambia en comparación con la interfaz adapt_integrate_v en versiones anteriores).

Nuevamente, el valor de retorno debe ser 0 en caso de éxito o distinto de cero para terminar la integración inmediatamente (por ejemplo, si ocurrió un error).

El tamaño de NPTS variará con la dimensionalidad del problema. Los problemas de dimensiones superiores tendrán NPTS (exponencialmente) más grandes, lo que permite la posibilidad de un mayor paralelismo. Actualmente, para hcubature_v, NPTS comienza en 15 en 1d, 17 en 2d y 33 en 3d, pero a medida que adapt_integrate_v llama a su integrando cada vez más, el valor de NPTS aumentará. p.ej. si termina requiriendo varios miles de puntos en total, el NPTS puede aumentar a varios cientos. Utilizamos un algoritmo de:

  • I. Gladwell, "Vectorización de códigos de cuadratura unidimensionales", págs. 230-238 en Integracion numerica. Desarrollos recientes, software y aplicaciones, G. Fairweather y P. M. Keast, eds., Serie C203 de ASI de la OTAN, Dordrecht (1987).

como se describe en el artículo “Algoritmos adaptativos globalmente paralelos para la integración multidimensional” de Bull y Freeman (1994).

Como ejemplo simple, considere la integral gaussiana de la función escalar f (x) = exp (-sigma | x | ²) sobre el hipercubo [-2,2] ³ en 3 dimensiones. Puede calcular esta integral a través de un código que se parece a:

luego, más adelante en el programa donde llamamos hcubature:

Aquí, hemos especificado una tolerancia de error relativa de $ 10 ^ <-4> $ (y sin tolerancia de error absoluta o número máximo de evaluaciones de funciones). Tenga en cuenta también que, para demostrar el parámetro fdata, lo hemos usado para pasar el valor σ a nuestra función (en lugar de codificar el valor de σ en f o usar una variable global).

Tenga en cuenta que el estimado relativo el error es 0.00136919 / 13.69609043 = 9.9969 × 10⁻⁵, dentro de nuestra tolerancia solicitada de 10⁻⁴. El real error en el valor integral, como se puede determinar, p. ej. al ejecutar la integración con una tolerancia mucho más baja, es mucho más pequeña: la integral es demasiado pequeña en aproximadamente 0,00002, para un error relativo real de aproximadamente 1,4 × 10⁻⁶. Como se mencionó anteriormente, para integrandos suaves, el error estimado es casi siempre conservador (lo que significa, desafortunadamente, que el integrador generalmente hace más evaluaciones de funciones de las que necesita).

Con la interfaz vectorizada hcubature_v, se usaría en su lugar:

Las integrales sobre intervalos infinitos o semi-infinitos son posibles mediante un cambio de variables. Esto se ilustra mejor en una dimensión.

Para calcular una integral sobre un intervalo semi-infinito, puede realizar el cambio de variables x = a + t / (1-t):

Para un intervalo infinito, puede realizar el cambio de variables x = t / (1-t²):

Tenga en cuenta que los factores jacobianos se multiplican F(⋅⋅⋅) en ambas integrales, y también que los límites de la t las integrales son diferentes en los dos casos.

En múltiples dimensiones, uno simplemente realiza este cambio de variables en cada dimensión por separado, según se desee, multiplicando el integrando por el factor jacobiano correspondiente para cada dimensión que se está transformando.

Los factores jacobianos divergen a medida que se acercan los puntos finales. Sin embargo, si f (x) llega a cero al menos tan rápido como 1 / x², entonces el límite del integrando (incluido el factor jacobiano) es finito en los puntos finales. Si su f (x) se desvanece más lentamente que 1 / x² pero aún más rápido que 1 / x, entonces el integrando explota en los puntos finales pero la integral sigue siendo finita (es una singularidad integrable), por lo que el código funcionará (aunque pueden ser necesarias muchas evaluaciones de funciones para converger). Si su f (x) desaparece solo como 1 / x, entonces no es absolutamente convergente y se requiere mucho más cuidado incluso para definir lo que está tratando de calcular. (En cualquier caso, las reglas de cuadratura / cubatura adaptativas h actualmente empleadas en cubature.c no evalúan el integrando en los puntos finales, por lo que no es necesario implementar un manejo especial para | t | = 1.)

Para compilar un programa de prueba, simplemente compile hcubature.cy / o pcubature.c junto con el programa de prueba test.c, p. Ej. (en Unix o GNU / Linux) a través de:

donde & ltdim & gt = #dimensions, & lttol & gt = tolerancia relativa, & ltintegrand & gt es 0–7 para uno de los ocho integrandos de prueba posibles (ver más abajo) y & ltmaxeval & gt es el número máximo de evaluaciones de funciones (0 para ninguna, el valor predeterminado). De manera similar para ptest (que prueba la función pcubature).

Los diferentes integrandos de prueba son:

  • 0: un producto de funciones coseno
  • 1: una integral gaussiana de exp (-x²), reasignada a los límites [0, ∞)
  • 2: volumen de una hiperesfera (¡integrando una función discontinua!)
  • 3: un polinomio simple (producto de coordenadas)
  • 4: un gaussiano centrado en el medio del volumen de integración
  • 5: una suma de dos gaussianos
  • 6: una función de ejemplo de Tsuda, un producto de términos con polos cercanos
  • 7: un integrando de prueba de Morokoff y Caflisch, un producto simple de las raíces dim -th de las coordenadas (débilmente singular en el límite)

integra la función gaussiana (4) a una tolerancia de error relativa deseada de 10 ^ –5 ^ en 3 dimensiones. La salida es:

Observe que encuentra la integral después de 82203 evaluaciones de funciones con un error estimado de aproximadamente 10⁻⁵, pero el error verdadero (comparado con el resultado exacto) es mucho menor (2.5 × 10⁻⁸): la estimación del error es típicamente conservadora cuando se aplica para suavizar funciones como esta.


La calculadora le ayudará a calcular la integral doble en línea. La integral doble es una generalización de la noción de integral definida para el caso bidimensional. La integral doble de una función f (x, y) sobre un dominio D es el límite de la suma integral lim S (d → 0), si existe. En sentido geométrico, la integral doble es numéricamente igual al volumen de un cuerpo cilíndrico vertical construido sobre la base y delimitado desde arriba por la pieza de superficie correspondiente.

Para obtener la solución de integrales dobles, debe ingresar los datos de entrada necesarios en las celdas correspondientes. Introduzca los límites superior e inferior para la región de integración y el integrando. Si no hay una función integrando, ingrese 1.

Nuestra calculadora de integrales en línea con una solución detallada lo ayudará a calcular integrales y antiderivadas de funciones en línea, ¡gratis! Usar una calculadora es fácil.


La calculadora en línea le permite calcular la integral triple. La integral triple es una generalización de la noción de integral definida al plano tridimensional. Las integrales triples tienen las mismas propiedades que las dobles. La única diferencia es que en el caso de integrales triples, ya no hablaremos de área, sino de volumen. El cálculo de la integral triple se reduce al cálculo secuencial de tres integrales definidas. Ingrese los límites superior e inferior para la región de integración y el integrando para la integral triple.

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Causalidad y estabilidad

Para que un sistema sea causal, todos los polos de su función de transferencia deben estar en la mitad derecha del plano s.

Se dice que un sistema es estable cuando todos los polos de su función de transferencia se encuentran en la mitad izquierda del plano s.

Se dice que un sistema es inestable cuando al menos un polo de su función de transferencia se desplaza a la mitad derecha del plano s.

Se dice que un sistema es marginalmente estable cuando al menos un polo de su función de transferencia se encuentra en el eje j & omega del plano s.


Abstracto

Se investiga el comportamiento a la fatiga y a la rotura de los tacos de doble cizallamiento sujetos a cargas axiales. La atención se centra en formas específicas, las llamadas orejetas con cintura o cuello. Estos componentes estructurales utilizados en el interior de las aeronaves son propensos a sufrir cargas de fatiga. Tres tamaños diferentes de orejetas de doble cizallamiento con cuello fabricadas en aluminio de alta resistencia 2024-T351 y acero 17–4 PH se prueban utilizando cargas cíclicas de amplitud constante con una relación de carga R = 0,01. Los datos de medición se utilizan para identificar el número de ciclos para el inicio de la fisura y la fractura final. Las pruebas de fatiga muestran que las grietas se inician en la superficie interior o exterior de las orejetas con cuello. Sin embargo, no se pudo encontrar una dependencia clara de la amplitud de la carga, el tamaño de las orejetas y el material. Se realizan simulaciones numéricas utilizando el método convencional de elementos finitos (FEM) y el método de elementos finitos extendidos (XFEM) para calcular los factores de intensidad de tensión (SIF) para múltiples longitudes de fisura de orejetas de doble cizalla rectas y con cuello. Los factores de intensidad de tensión calculados para tacos rectos se ajustan bien a los factores de intensidad de tensión descritos en la literatura. Las curvas del factor de intensidad de tensión de las grietas internas y externas de los tacos de cuello trazadas con respecto a la longitud de la grieta se cruzan, lo que podría influir en el comportamiento de la fractura observado en los ensayos de fatiga.


La carga estadounidense de la enfermedad de Alzheimer y las demencias relacionadas se duplicará para 2060

Porcentaje de adultos de 65 años o más con enfermedad de Alzheimer por raza y grupo étnico

La carga estadounidense de la enfermedad de Alzheimer y las demencias relacionadas (ADRD) se duplicará para 2060, según un nuevo estudio de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades.

El estudio, publicado en línea en Alzheimer & rsquos & amp Dementia: The Journal of the Alzheimer & rsquos Association external icon , es el primero en pronosticar la enfermedad de Alzheimer y rsquos por raza y etnia. Los investigadores de los CDC predicen que los hispanoamericanos tendrán el mayor aumento proyectado debido al crecimiento de la población durante el período de proyección, aunque debido al tamaño relativo de la población, los blancos no hispanos seguirán teniendo el mayor número total de casos de Alzheimer & rsquos.

La carga de la enfermedad de Alzheimer y rsquos y las demencias relacionadas en 2014 fue de 5 millones de personas, lo que representa el 1,6 por ciento de la población de EE. UU. En 2014 y 319 millones de personas. Se prevé que esta carga aumente a 13,9 millones, casi el 3,3 por ciento de la población en 2060 y 417 millones de personas.

& ldquoEste estudio muestra que a medida que aumenta la población de EE. UU., el número de personas afectadas por la enfermedad de Alzheimer y las demencias relacionadas aumentará, especialmente entre las poblaciones minoritarias & rdquo, dijo el director de los CDC, Robert R. Redfield, MD & ldquoEl diagnóstico temprano es clave para ayudar a las personas y sus familias a sobrellevar la situación con pérdida de memoria, navegue por el sistema de atención médica y planifique su atención en el futuro. & rdquo

Disparidades raciales en la carga futura de Alzheimer y rsquos

La enfermedad de Alzheimer y rsquos es la quinta causa más común de muerte entre los estadounidenses de 65 años o más. Es un trastorno cerebral progresivo e irreversible que destruye lentamente la memoria y, finalmente, la capacidad de una persona para realizar incluso las tareas más simples, como bañarse, alimentarse y vestirse.

CDC researchers estimated the number of people with Alzheimer&rsquos by age, sex, race and ethnicity in 2014 and 2060 based on population projections from the U.S. Census Bureau and percentages of Medicare Fee-for-Service beneficiaries ages 65 years and older with Alzheimer&rsquos disease and related dementias from the Centers for Medicare & Medicaid Services.

Resultados clave

Among people ages 65 and older, African Americans have the highest prevalence of Alzheimer&rsquos disease and related dementias (13.8 percent), followed by Hispanics (12.2 percent), and non-Hispanic whites (10.3 percent), American Indian and Alaska Natives (9.1 percent), and Asian and Pacific Islanders (8.4 percent).

By 2060, the researchers estimate there will be 3.2 million Hispanics and 2.2 million African Americans with Alzheimer&rsquos disease and related dementias. The increases are a result of fewer people dying from other chronic diseases and surviving into older adulthood when the risk for Alzheimer&rsquos disease and related dementias increases.

Caregivers of people living with Alzheimer&rsquos and related dementias need support

The report also addresses the need to provide support to caregivers of persons living with Alzheimer&rsquos and related dementias because an early diagnosis can help caregivers plan for the life-changing experience of caring for a friend or family member with these conditions, which can also impact the caregiver&rsquos health and well-being.

&ldquoIt is important for people who think their daily lives are impacted by memory loss to discuss these concerns with a health care provider. An early assessment and diagnosis is key to planning for their health care needs, including long-term services and supports, as the disease progresses,&rdquo said Kevin Matthews, Ph.D., health geographer and lead author of the study with the CDC&rsquos Division of Population Health within the National Center for Chronic Disease Prevention and Health Promotion.

CDC works to understand and improve the lives of people with Alzheimer&rsquos and related dementias, and their families, by:


US Regions and States: How Do They Differ?

In a country that covers over 9 million square kilometers, it is not surprising to learn that regions that are separated by large distances will be noticeably different. Not only are there great differences in climate and landscape, but also in the people who live in each of these regions. The fifty states that make up the United States can be divided into six distinctive regions which are described below.

The Northeast (Maine, New Hampshire, Vermont, Massachusetts, Connecticut, and Rhode Island)

The first immigrants (or settlers) to the United States came to the Northeast region in the 17th century. These were mostly English Protestants, looking for freedom to practice their religion and political reform. Because the winters are cold and harsh, and the land not very flat or fertile, this region is not well suited for farming. Eventually manufacturing and trade became the most important contributors to the regional economy. This region is well known for its culture (with excellent theaters and museums) as well as its educational system (with some of the most highly rated and respect universities in the country). This region is also known for its mix of ethnic groups, including Irish, Italian, and many eastern Europeans.

The Middle Atlantic (New York, New Jersey, Pennsylvania, Delaware, Washington, DC, and Maryland)

The first settlers in this region were more diverse than in the Northeast. Not only were English Protestants included, but also English Catholics, Dutch, and Swedes. Although the weather is not quite as cold, farming was still difficult, so manufacturing and shipping became the dominant industries. Some of the most highly populated American cities (including the largest, New York city) are located in the Mid Atlantic, as is the nation's capital (Washington, DC). Today finance, communications, and pharmaceuticals are some of the most important industries in the region.

The South (Virginia, West Virginia, Kentucky, Tennessee, North Carolina, South Carolina, Georgia, Florida, Alabama, Mississippi, Arkansas, Louisiana, and parts of Missouri, Texas and Oklahoma)

The first southerners were English Protestants, like the northeasterners, but they were less independent and revolutionary in their nature. With temperate weather and sprawling lands, the south was very conducive to farming and soon agriculture became the primary industry. Southerners are probably the most distinctive of all American regional groups, with more relaxed attitudes and traditional ways than their neighbors to the north. They are known for their hospitality. The climate and the landscape have led this region to become popular with American tourists, and also with retirees. Today farming has become less prominent, and manufacturing and tourism have contributed greatly to the economy.

The Midwest (Ohio, Michigan, Indiana, Wisconsin, Illinois, Minnesota, Iowa, parts of Missouri, North Dakota, South Dakota, Kansas, Nebraska and eastern Colorado)

The Midwest is the largest of the regions, with the most variation in weather. However, the land is almost entirely flat, and also very fertile, making it ideal for farming. The region is known as the nation's "breadbasket" because of its abundant production of oats, wheat, and corn. The first immigrants were Americans from the east coast, as well as Europeans from Sweden, Norway, and Germany. Midwesterners are known for being honest, straightforward people of traditional values. The area is not densely populated, with fewer big cities than its neighbors to the east. The largest city is Chicago, known for its port, and for being a connection (through railroad lines and airline hubs) between the eastern and western United States.

The Southwest (western Texas, parts of Oklahoma, New Mexico, Arizona, and Nevada)

This region has had the least influence by European immigrants. Much of its culture has been defined by native Americans (also known as American Indians) and by the Spanish (most of the Southwest previously belonged to Mexico). The land is generally flat and dry, and the weather is very hot. The region has many deserts. The nation's greatest natural wonder, the Grand Canyon, is located in this region. Also located here is Las Vegas, one of the world's premier gambling centers.

The West (western Colorado, Wyoming, Montana, Utah, California, Nevada, Idaho, Oregon, Washington, Alaska, and Hawaii)

The first settlers in the West were the Spanish who established Catholic missions along the coast. This region has probably the most variation in landscape and climate. Mountain chains run from north to south, creating temperate, wet areas to the west, and harsher, drier areas to the east. This region contains much undeveloped land which is enjoyed by the locals for recreation. The west has the most varied mixture of immigrants of all the other regions. In some areas, Mexican and Asian influences are dominant over European influences. Westerners are known as the least traditional of Americans, and the most tolerant of change and differences. California is the nation's most populous state, and is famous for its movie and high-technology industries.


When a fire occurs and the alarm is raised, we expect the fire service to respond and arrive quickly. The emergency services need three main conditions to be satisfied to successfully deal with a fire in a house:

  • Fire engines must be able to get close to the building
  • Firefighters and their equipment must be able to reach the fire&rsquos location in the building
  • An adequate supply of water, maintained at sufficient pressure, must be available to fight the fire.

As houses are usually classed as small buildings (that is, up to 2,000m2 floor area with a top storey less than 11m high), only access to within 45m of every point of the building, or to 15% of its perimeter, is needed.

A wide range of fire engines are in use throughout the UK. They vary in height, length and weight and, as such, require varying degrees of access. To ensure that these requirements are met, building control bodies and local fire safety authorities should be consulted early on when designing a new home to check that there are no restrictions to access.

Long, narrow access tracks or drives in rural areas can often be a problem. Access roads usually need:

  • To be at least 3.7m wide
  • Surfaced and capable of carrying 12.5 tonnes
  • With gates at least 3.1m wide
  • With passing areas or turning points every 20m. A hammerhead or a turning circular With 16.8m turning circle diameter is required if the drive or track is over 20m in length.

If this is not possible, some alternative considerations may be agreed to compensate.

Remote self bu­­­ild projects could include their own fire hydrant. Extended from the water mains, they would provide a means by which fire fighters could connect hoses to a standpipe. Private hydrants should be positioned not more than 90m (hose length) from the external door.

External hydrants are usually &lsquowet&rsquo (permanently filled with water) rather than &lsquodry&rsquo (kept empty and filled by the fire brigade when they attend an incident).


Ver el vídeo: INTEGRALES DOBLES ll Integrales dobles sobre rectángulos. (Diciembre 2021).