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Origen del concepto de derivada de una función.


El concepto de función que puede parecer simple hoy es el resultado de una evolución histórica lenta y larga que comenzó en la antigüedad cuando, por ejemplo, los matemáticos babilónicos utilizaron tablas y tablas de raíz cuadrada y cúbica o cuando los pitagóricos intentaron relacionar la altura de la sonido emitido por cuerdas sometidas a la misma tensión con su longitud. En este momento, el concepto de función no estaba claramente definido: las relaciones entre variables surgieron implícitamente y se describieron verbalmente o mediante un gráfico.

Solo en el siglo. XVII, cuando Descartes y Pierre Fermat introdujeron coordenadas cartesianas, se hizo posible transformar problemas geométricos en problemas algebraicos y estudiar funciones analíticamente. Por lo tanto, las matemáticas reciben un gran impulso, especialmente en su aplicabilidad a otras ciencias: los científicos comienzan, a partir de observaciones o experimentos, a buscar determinar la fórmula o función que relaciona las variables en estudio. A partir de aquí, todo el estudio se desarrolla alrededor de las propiedades de tales funciones. Por otro lado, la introducción de coordenadas, además de facilitar el estudio de curvas conocidas, permitió la "creación" de nuevas curvas, imágenes geométricas de funciones definidas por relaciones entre variables.

Mientras se dedicaba al estudio de algunas de estas funciones, Fermat se dio cuenta de las limitaciones del concepto clásico de línea tangente a una curva como una que encontró la curva en un solo punto. Por lo tanto, se ha vuelto importante reformular dicho concepto y encontrar un proceso para trazar una tangente en un punto dado; esta dificultad se conoce en la historia de las matemáticas como el "problema de la tangente".

Fermat resolvió esta dificultad de una manera muy simple: determinar una tangente a una curva en un punto P consideró otro punto Q en la curva; consideró la línea PQ secante a la curva. Luego deslizó Q a lo largo de la curva hacia P, obteniendo así líneas rectas PQ que se aproximaban a una línea t hacia la cual Fermat dibujó la línea tangente a la curva en el punto P.

Fermat señaló que para ciertas funciones, en los puntos donde la curva asumió valores extremos, la tangente a la gráfica debe ser una línea horizontal, ya que al comparar el valor asumido por la función en uno de estos puntos P (x, f (x)) con el valor Suponiendo en el otro punto Q (x + E, f (x + E)) cerca de P, la diferencia entre f (x + E) yf (x) fue muy pequeña, casi cero, en comparación con el valor de E, diferencia Por lo tanto, el problema de determinar extremos y determinar tangentes a curvas se relaciona estrechamente.

Estas ideas fueron el embrión del concepto de Derivada y llevó a Laplace a considerar a Fermat "el verdadero inventor del cálculo diferencial". Sin embargo, Fermat no fue calificado adecuadamente y el concepto de límite aún no estaba claramente definido.

En el siglo XVI, Leibniz esposó el Cálculo Infinitésimal e introdujo los conceptos de variable, constante y parámetro, así como la notación dx y dy para designar "las diferencias más pequeñas posibles en x e y". De esta notación proviene el nombre de la rama de las matemáticas. conocido hoy como "cálculo diferencial".

Por lo tanto, aunque solo en el siglo XIX, Cauchy introdujo formalmente el concepto de límite y el concepto de derivado del siglo XIX. Con Leibniz y Newton XVII, el cálculo diferencial se convierte en un instrumento cada vez más indispensable para su aplicabilidad a los más diversos campos de la ciencia.

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